1. Поле бесконечной заряженной плоскости (см. Рис.3). Поверхностная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) дана.

Рис.3

Из симметрии задачи следует, что вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно плоскости и зависит только от расстояния до плоскости. Мысленно выделим цилиндрический объем с площадью основания и высотой , основания на расстоянии в каждую сторону от поверхности. На рисунке показан цилиндр, направления нормалей к основаниям и боковой поверхности и выбранное нами направление вектора напряженности. В таком случае заряд, который попадает внутрь цилиндра, равен , а интеграл по боковой поверхности равен нулю из-за того, что нормаль и вектор напряженности перпендикулярны ( ). В таком случае остаются только интегралы по двум основаниям на которых вектор напряженности постоянен и направлен вдоль нормали. В этом случае теорема Гаусса записывается в виде:

,

(21)

Отсюда получаем:

,

(22)

Таким образом, поле заряженной плоскости не зависит от расстояния до плоскости и направлено от плоскости, если она заряжена положительно и к плоскости, если она заряжена отрицательно . Для дополнительной уверенности в ответе проверим размерность полученного ответа (никогда не помешает), имея ввиду по определению, что

,

(23)

Сравнивая с (10) делаем вывод, что с точки зрения размерности с ответом все в порядке.

2. Поле бесконечной заряженной нити (см. Рис.4) с линейной плотностью Линейная плотность — это заряд единицы длины нити и, значит размерность

Р ис.4

Для вычисления напряженности поля построим (мысленно) цилиндр радиуса

и длины по центру которого проходит наша нить. Заряд, попавший внутрь цилиндра равен . Из рисунка видно, что вклад в интеграл дает только боковая поверхность. Поэтому, применяя теорему Гаусса, получаем:

,

(24)

что дает:

,

(25)

Правильность размерности легко проверить самостоятельно.

3. Поле заряженного шара. Найдем поле вне заряженного шара. Пусть заряд шара равен . Поместим заряд в начало координат и мысленно окружим заряд сферой радиуса . Считаем, что радиус сферы больше чем радиус исходного шара. Из симметрии задачи, очевидно, что напряженность поля совпадает с нормалью к сфере. В свою очередь нормаль к сфере направлена по радиус-вектору, проведенному в данную точку сферы:

,

(26)

В таком случае модуль напряженности (более точно проекция модуля напряженности на нормаль ) находится из следующего уравнения:

,

(27)

и отсюда имеем:

(28)

Из этого ответа следует, что заряженная сфера за своими пределами создает такое же поле, как и точечный заряд равный заряду сферы и расположенный в её центре.

Потенциал электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.

При изучении курса механики было показано, что центральные силы (силы которые зависят только от расстояния между частицами) являются потенциальными. Остановимся на вычислении потенциальной энергии взаимодействия двух зарядов. Рассмотрим перемещение частиц с зарядами и из положения (1) (с радиус-векторами ) в положение (2) . Считаем, что частицы перемещаются медленно, так что скорости их практически равны нулю и работа совершается за счет потенциальной энергии взаимодействия этих частиц. В курсе механики, когда мы рассматривали энергию системы взаимодействующих частиц, было показано, что при перемещении двух зарядов из положения (1) в положение (2) работа, совершаемая Кулоновскими силами равна:

(29)

Эта работа совершается за счет убыли потенциальной энергии, (выше мы отмечали, что частицы имеют нулевую скорость). Это значит, что произведенная работа равна убыли потенциальной энергии:

(30)

Отсюда следует, что энергия взаимодействия двух зарядов равна:

(31)

Мы будем выбирать . Остановимся на ситуации, когда пробный (не искажающий поле) заряд находится в поле системы точечных зарядов: Поскольку согласно принципу суперпозиции все точечные заряды действуют на пробный заряд независимо, то потенциальная энергия просто равна сумме потенциальных энергий:

(32)

Из этого выражения видно, что если пробный заряд не изменяет расположение зарядов создающих поле, то его энергия пропорциональна величине заряда. А энергия, численно равная энергии, которую имеет заряд , называется потенциалом электрического поля и обозначается (см. (32)). Размерность потенциала имеет свое название, которое вы много раз встречали в жизни, это Вольт (В) и дается следующим выражением через основные величины в системе СИ:

,

(33)

Найдем связь между напряженностью и потенциалом поля. При изучении механики было показано, что сила равна минус градиенту от потенциальной энергии. Напишем это соотношение с учетом связи напряженности и потенциала с силой и энергией в электрическом поле:

(34)

Отсюда следует, что напряженность поля связана с потенциалом так же, как сила с потенциальной энергией:

(35)

И еще одно определение: «Поверхности, на которых потенциал остается постоянным:

,

(36)

называются эквипотенциальными». Вектор напряженности перпендикулярен к эквипотенциальным поверхностям. Рассмотрим эквипотенциальные поверхности некоторых заряженных систем, поле которых известно.

1. Потенциал бесконечной заряженной поверхности. Плотность поверхностного заряда дана и обозначим её . Выберем начало координат в какой-то точке на поверхности, Ось Z направим перпендикулярно поверхности. В этом случае плоскость (X,Y) совпадает заряженной поверхностью. Используя теорему Гаусса мы нашли, что в этом случае вектор напряженности электрического поля равен:

,

(37)

Работа электростатических сил по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) равна убыли потенциальной энергии:

,

(38)

Что дает следующую интегральную связь между разностью потенциалов и напряженностью электрического поля:

(39)

Чтобы найти потенциал поля в данной точке, необходимо выбрать какую-то точку за начальную, и вычислять интеграл (39) всегда стартуя с этой точки (фактически это означает выбор константы в определении потенциальной энергии). В данном случае такую точку можно выбрать в начале координат. В таком случае потенциал в точке с радиус вектором равен:

,

(40)

и эквипотенциальными поверхностями являются плоскости

2. Потенциал бесконечной заряженной нити (см. Рис.4) с линейной плотностью . В этом случае удобно выбрать цилиндрическую систему координат с ось Z совпадающей с заряженной нитью. Выберем (1) на расстоянии от заряженной нити (координату можно выбрать любой) выберем на бесконечности, в таком случае потенциал находится из равенства:

(41)

Отсюда следует, что эквипотенциальными поверхностями являются круговые цилиндры с образующими параллельными заряженной нити эта заряженная нить проходит через центр цилиндра.

3. Потенциал заряженного шара. Будем рассматривать потенциал заряженного шара (заряд ) на расстояниях от центра шара больших его радиуса ( ). Считаем, что заряд распределен по шару так, что его плотность зависит только от расстояния до центра шара. Точку (1) выберем на бесконечности и вычислим потенциал, пользуясь стандартным правилом:

(42)

Очевидно, что такой же потенциал создает и точечный заряд . Эквипотенциальными поверхностями в этом случае являются сферы.

Относительно эквипотенциальных поверхностей можно заметить следующее:

1. Вектор напряженности электрического поля совпадает с нормалью к эквипотенциальной поверхности.

2. При перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности электростатические силы не производят работы.

3. Если распределение зарядов обладает симметрией, то эквипотенциальные поверхности обладают той же симметрией.