3) Средние величины.

Средняя величина отражает типичный уровень явления. Она представляет собой обобщающую характеристику однородной совокупности явлений по определенному признаку. Значения признака меняются от одной единицы совокупности к другой. На вариацию признаков оказывает влияние множество факторов, среди которых можно выделить основные (постоянно действующие) и случайные (разовые) факторы. Сущность средней величины состоит в том, что в ней взаимопогашаются отклонения, обусловленные воздействием случайных факторов, и учитываются отклонения, вызванные действием основных факторов. К основным видам средних величин относятся:

- средняя арифметическая;

- средняя гармоническая;

- средняя геометрическая;

- средняя квадратическая;

- средняя кубическая;

- средняя степенная.

Средние величины могут рассчитываться в форме простых средних и средних взвешенных. Вид и форма средней величины зависят от того, как формируется обобщающая характеристика совокупности. Если она формируется как сумма отдельных значений вариант, то в данном случае используется среднее арифметическое. Среднее арифметическое является наиболее распространенным видом средних величин, которые применяются в практике. Простое среднее арифметическое используется, если расчет ведут по несгруппированным данным или если индивидуальные значения признака встречаются один раз или одинаковое число раз. На практике же часто мы имеем дело со сгруппированными данными, представленными в виде ранжированного ряда распределения. Как правило, на практике индивидуальное значение признака встречается не один, а много раз, причем неодинаковое число раз. В этом случае расчет ведут по форме средней арифметической взвешенной. Средняя арифметическая обладает рядом свойств, знание которых позволяет упростить её расчет и лучше понять суть.

1. Среднее арифметическое суммы варьирующих величин равно сумме средних арифметических этих величин. Это правило показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины.

2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины всегда равна нулю. Это свойство показывает, что средняя величина является равнодействующей, что сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону.

3. Если все варианты ряда, то есть значения признака, уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя величина также уменьшится или увеличится на это же число.

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в одно и то же число раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в это же число раз.

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число, то средняя величина не изменится. Это свойство показывает, что средняя величина зависит не от размеров весов, а от соотношения между ними. Поэтому в качестве весов при расчёте средней могут быть использованы не только частоты, но и частности.

Средняя гармоническая величина.

Пример: предприятие проработало 3 месяца, суммарные издержки по месяцам составляют: 1 месяц - 1000 р., 2 месяц - 2500 р., 3 месяц - 5000 р. Себестоимость единицы продукции составила соответственно 5 р., 3,5р., 4р. Определить среднюю себестоимость единицы продукции.

Средняя себестоимость равна: суммарные затраты поделить на количество единиц продукции (на общий объем продукции).

(1000 + 2500 + 5000)/(1000/5 + 2500/3,5 + 5000/4) = 3,93

Средняя гармоническая применяется, когда обобщающая характеристика совокупности формируется как сумма обратных значений вариант.

В данном примере средняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической.

Пример: определить среднюю трудоемкость изготовления одной детали, если известно, что трое рабочих отработали по 8 часов каждый, при этом затраты времени на одну деталь у них составили соответственно: у первого 0,5 часа, у второго 0,3 часа, у третьего 0,2 часа.

8*3/(8/0,5 + 8/0,3 + 8/0,2) = 0,3

Средняя геометрическая величина.

Она используется, когда обобщающая характеристика совокупности формируется как произведение отдельных вариант.

Рассчитать коэффициенты роста заработной платы.

Средняя заработная плата работника:

1	2	3	4	5
7000	7900	9000	10500	11000
-	1,13	1,14	1,17	1,05
1	1,13	1,29	1,5	1,57

В первом случае мы каждый год относим к предыдущему году.

Во втором случае мы каждый год относим к первому году.

На основе этих данных определить среднегодовой коэффициент роста заработной платы.

(1,13*1,14*1,17*1,05)^1/4

Средняя квадратическая величина.

Применяется в тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций (например, средние диаметры колес).

Средняя степенная величина.

Рассмотренные ранее средние могут быть представлены в виде некоторой системы величин, выделенных из степенной средней.

Придавая показателю k различные целые значения, получим отдельные виды степенных средних. Так, при k=1, получим среднюю арифметическую. При k=-1, получим среднюю гармоническую. При k=0, получим среднюю геометрическую. При k=2, получим среднюю квадратическую. Если рассчитать различные степенные средние по одним и тем же данным, то можно обратить внимание, что они будут неодинаковые по величине. Чем выше степень k средней, тем больше её величина.

Соотношение: Гармоническая < Геометрическая < Арифметическая < Квадратическая.