- •Материалы к самостоятельному изучению темы «Применение производной» і. Исследование функций и построение графиков.
- •Найти область определения функции: д(у).
- •Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
- •Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно элементарным путем):
- •5. Найти все асимптоты графика функции.
- •Іі. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Ііі. Примеры.
Іі. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Пусть задана функция у = f (x) – непрерывная на отрезке . Тогда функция у = f (x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале , либо на концах отрезка .
Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке:
Найти
Найти критические точки функции, в которых = 0 или не существует.
Найти значение функции в критических точках, принадлежащих интервалу
и на концах отрезка.
Выбрать из них наибольшее и наименьшее значение.
Ііі. Примеры.
Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .
Решение: Функция определена на всей числовой прямой, т.е. .
Найдём .
.
Найдём критические точки.
или .
Заполним таблицу:
|
|
0 |
|
4 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция возрастает на интервалах , а убывает на интервале .
Пример 2. Найти экстремумы функции .
Решение: Функция определенна на всей числовой прямой, т.е. .
1.Найдём .
2.Найдём критические точки.
или
3.Заполняем таблицу:
|
|
0 |
|
4 |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
5 |
|
-27 |
|
|
|
max |
|
min |
|
Таким образом, х=0 – точка максимума, х=4 – точка минимума, а экстремумы функции равны: .
Ответ:
Пример 3. Найти асимптоты графика функции .
Решение: Функция непрерывна везде, кроме х=1, т.е. .
Проверим, есть ли горизонтальные асимптоты.
Находим:
Отсюда следует, что горизонтальных асимптот график функции не имеет.
Проверим, есть ли вертикальные асимптоты.
Разрыв функции возможен только при х=1. Так как а
то прямая х=1 – вертикальная асимптота. Других вертикальных асимптот нет, так как они находятся только либо в точках разрыва, либо на концах
её области определения.
Проверим, есть ли наклонные асимптоты.
Находим:
(аналогично ) ;
Следовательно, - наклонная асимптота.
Ответ:
Пример 4. Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
1.
2. Разрыв функция имеет в точке х=1, так как ни левосторонний предел, ни правосторонний предел не существует, т.е. , . (см.пример 3)
3. Функция непериодическая. Исследуем на четность и нечетность:
Следовательно, данная функция ни четная, ни нечетная (т.е. общего вида) .
Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью ОУ график пересекается при х=0, а , т.е. О(0;0).
С осью ОХ график пересекается при у=0, а при х=0, т.е. О(0;0).
Следовательно, О(о;о) – единственная точка пересечения функции с осями ОХ и ОУ.
Найдём все асимптоты график (см.пример 3)
- вертикальная асимптота, - наклонная асимптота.
Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции:
1. .
2. х=0, х=2, х=1 – критические точки.
3. Заполним таблицу:
|
|
0 |
|
1 |
(1;2) |
2 |
|
|
+ |
0 |
- |
не сущес. |
- |
0 |
+ |
|
|
0 |
|
- |
|
4 |
|
|
|
max |
|
|
|
min |
|
;
.
Таким образом, функция возрастает на интервалах , убывает на интервалах (0;1) (1;2). Х=0 – является точкой максимума, - точкой минимума, а экстремумы функции:
Найдём интервалы выпуклости и точки перегиба.
1.
2.Исследуем при х=1.
3. Заполним таблицу:
|
|
|
|
- |
+ |
|
|
|
Таким образом, функция выпуклая вверх на интервале и выпуклая вниз на интервале . Точек перегиба нет, так как в точке х=1 – вторая производная не существует.
Учитывая полное исследование, строим график функции .
Пример 9.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке .
Решение:
;
Найдем критические точки, решив уравнение:
Найдем значение функции на концах промежутка , а так же в точке и сравним полученные результаты. Имеем:
Следовательно,
Ответ: