2.5.3. Емкость проводников.

Если проводнику сообщить заряд , то он распределяется по поверхности проводника единственным способом, причем так, чтобы поле внутри проводника было равно нулю. Такое распределение будет сохраняться, когда проводник уединенный, т.е. когда по близости нет других тел, заряды которых или поляризация могут вызвать перераспределение зарядов на интересующем нас проводнике.

Итак, рассмотрим уединенный заряженный проводник. Если увеличить его заряд на , то он распределится аналогичным образом, лишь возрастет напряженность поля вблизи поверхности и потенциал проводника. Опыт показывает, что между зарядом проводника и его потенциалом существует прямая пропорциональность (потенциал на бесконечности считаем равным нулю):

. (5.12)

Коэффициент пропорциональности называют электроемкостью или емкостью уединенного проводника.

Емкость зависит от размеров и формы проводника. Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.

Пример: Пусть проводящий уединенный шар имеет радиус . Найдем потенциал этого шара

или . (5.13)

Тогда емкость проводящего шара равна

. (5.14)

Единица емкости в системе (Гаусса): .

Примечание: в СИ имеем и единица емкости 1 Фарада:

.

Фарада - очень большая величина, так - это емкость шара радиусом 910⁹ м, что в 1500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли ). Поэтому для практических нужд вводят обычно кратные величины: .

2.5.4. Конденсаторы.

Наличие вблизи проводника других тел изменяет его электрическую емкость, т.к. потенциал проводника зависит и от электрических полей, создаваемых зарядами, наведенными в окружающих телах вследствие электростатической индукции. При приближении к заряженному проводнику других тел в них будет происходить перераспределение зарядов, причем так, что ближе окажутся заряды противоположные по знаку заряду рассматриваемого проводника. Поэтому потенциал проводника, являющийся алгебраической суммой потенциалов собственных и индуцированных на других телах зарядов, уменьшится, а, значит, его емкость увеличится.

Конденсатором называют систему, состоящую из двух проводников, отделенных слоем диэлектрика, расстояние между которыми много меньше их линейных размеров.

Чтобы внешние поля не оказывали заметного влияния на емкость конденсатора, нужно, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на обкладках зарядами, было практически полностью сосредоточено внутри конденсатора. Другими словами, линии вектора , начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, что выполняется, если заряды на обкладках равны по величине и противоположны по знаку. В реальном конденсаторе это условие выполняется приближенно, но с достаточно хорошей точностью.

Заряд конденсатора (заряд, расположенный на одной из его обкладок), связан с разностью потенциалов между обкладками конденсатора через коэффициент пропорциональности - емкость конденсатора:

. (5.15)

Емкость зависит от конструкции конденсатора. Наиболее простыми и часто используемыми являются плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы. Рассмотрим их устройство и характеристики.

1). Плоский конденсатор: две параллельные проводящие пластинки, между которыми расположен тонкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью . Расстояние между пластинами конденсатора , площадь пластин равна . Напряжение на конденсаторе:

.

Электрическое поле внутри конденсатора мы рассматриваем как суперпозицию полей двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей:

.

Т.о., поле в плоском конденсаторе – однородное.

Отсюда находим связь между напряжением на конденсаторе и его электрическим полем:

и емкость плоского конденсатора:

. (5.15)

Примечание: в СИ емкость плоского конденсатора .

2). Сферический конденсатор: две проводящие концентрические сферы, радиусами и (обкладки конденсатора), разделенные тонким слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью . Разность потенциалов определяется из соотношения

,

откуда находим емкость сферического конденсатора

(5.16)

Примечание: в СИ емкость сферического конденсатора

.

3). Цилиндрический конденсатор: обкладками конденсатора служат два проводящих коаксиальных цилиндра радиусами и , между которыми расположен тонкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью . Длина цилиндров равна (при этом достаточно велико: ). Поле внутри цилиндрического конденсатора (между цилиндрами) легко найти, используя теорему Гаусса (см. Глава 1, §3, формула (3.7)):

,

где заряд, приходящийся на единицу длины одного из цилиндров. Тогда разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора:

.

Следовательно, емкость цилиндрического конденсатора:

. (5.17)

Примечание: в СИ емкость цилиндрического конденсатора: .