Правила вывода функциональной зависимости

Одним из основных типов зависимостей, рассматриваемых в РБД, являются функциональные зависимости.

Пусть А и В атрибуты отношения R . Говорят, что атрибут В отношения R функционально зависит от атрибута А, если в каждый момент времени каждому значению а соответствует не более одного значения b. Функциональную зависимость f атрибута В от атрибута А обозначают : f : А  В. Эту зависимость f можно также представить множеством упорядоченных пар {< а, b>/ а  А, b  В }, в которых каждому значению а соответствует только одно значение b. При этом говорят, что В функционально зависит ( или просто зависти ) от А, а А функционально определяет ( или просто определяет) В.

Если существует единственная функциональная зависимость В от А, то её обозначают просто А  В. В случае отсутствия между ними функциональной зависимости вводят обозначение А  В. Если А  В и одновременно В  А , то между А и В существует взаимно однозначное соответствие, что записывается как А  В.

Пусть имеется множество атрибутов А₁, А₂,...,А_n отношения R, а также множество F Ф.З. Х  Y, где Х и Y - подмножества атрибутов множества А₁, А₂,...,А_n. Тогда из Ф.З. (функциональные зависимости), входящих в F, могут быть выведены другие Ф.З., присущие отношению R.

Обозначим через F⁺ замыкание множества ФЗ F, т.е. полное множество зависимостей, которое можно получить из F.

Правило вывода ФЗ :

1. Правило ФЗ 1 (свойство рефлексивности). Если Х  U, Y  U и Y  Х, то имеет место Ф.З. Х  Y.

Правило ФЗ 2 (свойство пополнения). Если Х  U, Y  U и Z  U и имеет место Ф.З. Х  U, X  Z  Y  Z.

В отличии от правила ФЗ 1 данное говорит о том, что для его применения несу щественно выполнение условий Y  Х. Т.е. любые атрибуты из множества U можно одновременно подставлять в левую и правую части выражения Ф.З. F.

Например, имеется универсальное отношение U(A₁, A₂, A₃, A₄, A₅) и заданы наборы атрибутов X={A₁, A₃}, Y={A₂, A₄}, Z={A₅}, тогда из условия, что существует Ф.З. Х  Y : {A₁, A₃} {A₂, A₄}, следует, что имеет место зависимость:

{A₁, A₃, А₅} {A₂, A₄, А₅},

3. Правило ФЗ 3 (свойство транзитивности) . Если Х  U, Y  U и Z  U и имеют место зависимости Х  Y и Y  Z, то Х  Z . Например, имеются подмножества атрибутов X={A₁, A₃}, Y={A₂, A₄}, Z={A₅}. Тогда из условия существования зависимостей {A₁, A₃} {A₂, A₄}, {A₂, A₄} {A₅} следует, что имеет место зависимость {A₁, A₃} {A₅}.

Кроме этих правил часто используют дополнительные правила следствия ФЗ 1, ФЗ 2, и ФЗ 3.

4. Правило ФЗ 4 (свойство расширения). Если Х  U, Y  U и задана ФЗ,

Х  Y , тогда для любого Z  U имеет место Ф.З. X Z  Y.

5. Правило ФЗ 5 (свойство продолжения). Если Х  U, Y  U, W  U, Z  U и задана Ф.З. Х  Y, то для любых W  Z имеет место зависимость X Z  Y  W.

6. Правило ФЗ 6 ( свойство псевдотранзитивности). Если Х  U, Y  U,

W  U, Z  U и заданы Ф.З. Х  Y, Y W  Z , то имеет место Ф.З. X W  Z.

7. Правило ФЗ 7 (свойство аддитивности). Если Х  U, Y  U, Z  U, и заданы Ф.З. Х  Y, Х  Z, то имеет место Ф.З. X Y  Z.

8. Правило ФЗ 8 (свойство декомпозиции). Если Х  U, Y  U, Z  U, и при этом Z  Y и заданы Ф.З. Х  Y, то имеет место Ф.З. Х  Z.