- •Матрицы и действия с ними
- •Определители n-ого порядка. Методы вычисления.
- •Обратная матрица и методы её нахождения.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Ранг матрицы и методы его нахождения.
- •Метод окаймляющих миноров
- •Метод элементарных преобразований
- •Теорема о ранге матрицы
- •Теорема о базисном миноре
- •Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.
- •Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы
- •Метод Гаусса.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Однородные системы. Фундаментальная система решений.
- •Вектор. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.
- •Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.
- •Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.
- •Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной.
- •Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Декартова система координат. Перенос начала, поворот. Полярная система координат.
- •Прямая на плоскости. Общее уравнение.
- •Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расположение прямых на плоскости.
- •Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Угол между плоскостями. Расположение плоскостей.
- •Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки.
- •Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
- •Прямая как пересечение двух плоскостей. Приведение к каноническому виду
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Расстояние между прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Пересечение прямой и плоскости. Проекция точки на прямую и плоскость.
- •Гипербола
- •Парабола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
Матрицы и действия с ними
Определители n-ого порядка. Методы вычисления.
Обратная матрица и методы её нахождения.
Критерий существования обратной матрицы
Ранг матрицы и методы его нахождения.
Теорема о ранге матрицы
Теорема о базисном миноре
Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.
Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы
Метод Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли.
Однородные системы. Фундаментальная система решений.
Вектор. Линейные операции над векторами и их свойства.
Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.
Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.
Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.
Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной
Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения
Декартова система координат. Перенос начала, поворот. Полярная система координат.
Прямая на плоскости. Общее уравнение.
Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.
Расстояние от точки до прямой.
Расположение прямых на плоскости.
Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями. Расположение плоскостей.
Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки
Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой
Прямая как пересечение двух плоскостей. Приведение к каноническому виду
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Расстояние между прямыми в пространстве.
Взаимно расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Пересечение прямой и плоскости. Проекция точки на прямую и плоскость.
Эллипс
Гипербола
Парабола
Директрисы эллипса и гиперболы.
Матрицы и действия с ними
Матрицей называется таблица чисел размером m × n состоящая из n – строк и m – столбцов и записанная в виде
А= A = (aij ) i-номер строки j-номер столбца
Если m= n, то матрица А-называется квадратной.
Элементы с индексами a11 a22 a33 … akk образуют главную диагональ матрицы.
Квадратная матрица все элементы которой равны 0, кроме элементов главной диагонали, называется диагональной матрицей.
Диагональная матрица у которой на главной диагонали стоят все 1, называется единичной матрицей
E = – единичная матрица второго порядка
Е= - единичная матрица третьего порядка
О= - нулевая матрица
А = ( -1 4 2 8) – матрица строка ( 1×4)
В = - матрица столбец ( 3×1) 1) Сложение. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
С = А + В , где Сij =Aij + Bij
2) Умножение матриц на число k 0
B=k*A= , где bij = k * aij
Каждый элемент матрицы А нужно умножить на число k.
Если k= -1, то вычитание матрицы А – В = А + (-1)*В
3) Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрица В.
Замечание: умножение матриц возможно если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
А*В В*А – произведения матриц некоммуникативны
4) Транспонирование матриц. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (aij)размера m × n при этом преобразовании станет матрицей размерностью n × m.
АТ=
Определители n-ого порядка. Методы вычисления.
А= = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 - a31a22a13 - a32a23a11 - a21a12a33
Вычисление определителей n-ого порядка:
Минором элемента аij называется определитель на порядок ниже данного получающейся из исходного вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца.
Алгебраическим дополнение элемента аij называется минор этого элемента взятый со знаком (-1)i+j
Теорема (разложение определителя по элементам строки или столбца) – определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответсвующее алгебраическое дополнение.
= а31*(-1)3+1* + а32*(-1)3+2* + а33*(-1)3+3*
Свойства определителей:
Значение определителя не меняется при транспонировании
Если в определителе поменять строки(столбцы) то его значение изменится на противоположное.
Если в определителе есть нулевая строка(столбец), то его значение равно 0.
Если в определителе есть две одинаковые строки(столбцы) то его значение равно 0.
Если в определителе есть пропорциональные строки(столбцы) то его значение равно 0.
Если элементы какой-либо строки(столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Если элементы какой-либо строки(столбца) умножить на число k 0, то значение определителя увеличивается в k раз.
Если какой-либо столбец(строка) представляет собой сумму элементов, по этот определитель можно записать в виде: = +
Если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число и сложить с элементами другой строки (столбца) то значения определителя не изменится.
С помощью элементарных преобразований можно обнулить элементы ниже(выше) главной диагонали. Тогда значение определителя равно произведению элементов главной диагонали.