- •Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
- •Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
- •Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- •Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
- •Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
- •Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
- •Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
- •Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
- •Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •Комплексные числа и действия над ними.
- •Возведение в степень
- •Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
- •Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
- •Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
- •Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
- •Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Закон радиоактивного распада.
- •Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
- •Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
- •Метод вариации произвольной постоянной.
- •Уравнение в полных дифференциалах.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
- •Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
- •Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
- •Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
- •Случайные события и их вероятности.
- •Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
- •Условные вероятности. Независимость событий.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
- •Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
- •Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
- •Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
- •Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
- •Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
- •Правило трех сигм. Теорема Маркова.
- •Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
- •Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
- •Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
- •Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
- •Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
- •Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.
Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
Определение интеграла от ФКП: Предел интегральной суммы Римана
д ля функции по кривой АВ, если он не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные дуги , ни от способа выбора точек tm на каждой элементарной дуге, при условии, что n → ∞, λ= max|Δzm|→0, называют интегралом от функции f(z) по кривой АВ и обозначают
Т еорема о связи криволинейных интегралов и интеграла от ФКП: Если действительная u(x, y) и мнимая v(x, y) части функции f(z)=u(x,y) + iv(x,y) непрерывны на кусочно-гладкой кривой АВ, то интеграл от функции f(z) по кривой АВ равен сумме двух криволинейных интегралов второго рода от действительных функций:
Следствие: Если кривая АВ задана параметрически дифференцируемыми функциями
Свойства:
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Область называется односвязной, если она ограничена замкнутой не самопересекающейся линией.
Теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области Д, то интеграл вдоль кривой L , если кривая L лежит в области Д полностью.
Следствие: если функция аналитична в односвязной области Д, то интеграл от неё зависит от начальной точки и конечной точки интегрирования.
Функция называется первообразной для функции если выполняется . Если аналитическая, то тоже.
Если - первообразная, то и тоже.
Неопределенным интегралом от функции называется , так же вытекает формула Ньютона-Лейбница
Таблица интегралов аналогична вещественным переменным.
Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
Интегральная формула Коши. Пусть функция аналитическая в области Д замкнутой односвязной и L граница области, тогда выполняется , где , а интегрирование в положительном направление.
Эта формула позволяет находить в произвольной точки через её значение на границе.
Ряд Лорана.
Всякая аналитическая функция в кольце , может быть разложено в ряд Лорана:
, где , L – кривая, лежащая внутри кольца.
Ряд Тейлора.
Если аналитична в точке , вытекает разложение в ряд Тейлора:
Физический смысл аналитической функции.
Всякая аналитическая функция определяет некоторое движение идеальное несжимаемое, это движение двухмерное и безвихревое .
Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
Особая точка называется изолированной особой точкой аналитической функции , если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек.
Особая точка может быть в случае или - не существует.
Если особая изолированная точка , то , что .
Разлагается в этом кольце в ряд Лорана:
Правильная часть главная часть
Если нет членов с отрицательными показателями, то точку называют устранимой.
Если имеется конечное число членов с отрицательными степенями, причем наибольшая отрицательная степень имеет вид , то точка - полюс m-того порядка.
Если в разложение есть бесконечное число членов с отрицательными степенями, то точка - называется существенно особенной точкой функции .
Если , то - полюс
Если - не существует, то - существенно особенная.
Вычет аналитической функции в изолированной точки - является комплексным числом . L – окружность в положительном направление с центром в и лежащая в кольце , в котором функция аналитична.
Т.Коши о вычете. Если функция является аналитической в , ограничена контуром L, за исключением конечного число изолированных особых точек , лежащих внутри , то интеграл