Оптимізаційні економіко-математичні моделі (тема 2 )
Побудувати економіко-математичну модель задачі лінійного програмування
1.1.1 Фірма має 1 млн грн обігових коштів. Відомі витрати грошей у кожному місяці, а також обов’язкові залишки обігових коштів на кінець кожного місяця. Також передбачається, що для успішного функціонування фірма витрачатиме значно меншу суму, ніж 1 млн грн. Отже, решту коштів можна надавати у кредит. Необхідно визначити оптимальний розподіл обігових коштів протягом кварталу для досягнення максимального прибутку за процентними ставками, якщо відомі витрати та потреби в резервах:
1.01 –31.01: витрати – 80 000 грн; необхідний запас на 31.01 – 300 000 грн;
1.02 –28.02: витрати – 30 000 грн; необхідний запас на 28.02 – 200 000 грн;
1.03 –31.03: витрати – 50 000 грн; необхідний запас на 31.03 – 190 000 грн.
Кредит терміном на 1 місяць дає 2 % прибутку, терміном на 2 місяці – 5 %, а терміном на 3 місяці – 8 %. Вважатимемо, що кредити надаються першого числа кожного місяця і погашаються також першого числа відповідного місяця.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.2 На ринок поставляється картопля з трьох фермерських господарств за цінами відповідно 80, 75 та 65 коп. за 1 кг. На завантаження 1 т картоплі в господарствах відповідно витрачається по 1, 6 та 5 хвилин. Замовлено 12 т картоплі, і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалося не більше сорока хвилин. Потрібно визначити, з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставляти картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо фермери можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.3 Стандартом передбачається, що октанове число бензину А-76 має бути не нижчим 76, а вміст сірки – не більшим, ніж 0,3 %. Для виготовлення такого бензину на заводі використовуються чотири компоненти. Дані про обсяги запасів компонентів, які змішуються, їх вартості, октанові числа та вміст сірки наведені в табл. 1:
Таблиця 1 – Техніко-економічні показники компонент бензину
Показник |
Компонента бензину |
|||
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№4 |
|
Октанове число |
68 |
72 |
80 |
90 |
Вміст сірки, % |
0,35 |
0,35 |
0,30 |
0,20 |
Наявний обсяг, т |
700 |
600 |
500 |
300 |
Вартість, грош. од./т |
40 |
45 |
60 |
90 |
Необхідно визначити, скільки тонн кожного компонента потрібно використати для того, щоб отримати 1000 т бензину А-76 з мінімальною собівартістю.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.4 Учасник експедиції складає рюкзак, і йому необхідно розв’язати питання про те, які взяти продукти. У розпорядженні є м’ясо, борошно, сухе молоко, цукор. У рюкзаку залишилось для продуктів лише 45 дм3 об’єму, до того ж необхідно, щоб загальна маса продуктів не перевищувала 35 кг. Лікар експедиції рекомендував, щоб м’яса (за масою) було більше, ніж борошна принаймні удвічі, борошна не менше, ніж молока, а молока хоча б у вісім разів більше, ніж цукру. Скільки і яких продуктів потрібно покласти в рюкзак, щоб сумарна калорійність продуктів була найбільшою? Характеристики продуктів наведені в табл. 1.
Таблиця 1 – Характеристики продуктів
Показники |
Продукт |
|||
м’ясо |
борошно |
молоко |
цукор |
|
Об’єм (дм3/кг) |
1 |
1,5 |
2 |
1 |
Калорійність (ккал/кг) |
1500 |
5000 |
5000 |
4000 |
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.5 Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні озимої пшениці і має три ділянки землі площею S1 = 40 га, S2 = 90 га, S3 = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпечить посів на 80 га, «Безоста-1» – 60 га та «Одеська – 51» – 45 га. Урожайність сорту «Миронівська-808» на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для сорту «Безоста-1» маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для «Одеської-51» – 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га.
Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.6 Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць – А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. 1.
Таблиця 1 – Тривалість виготовлення книжкових полиць
Верстат |
Тривалість обробки полиці моделі, хв. |
Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень |
|
А |
В |
||
1 |
30 |
15 |
40 |
2 |
12 |
26 |
36 |
Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В – 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.
Необхідно визначити обсяги виробництва книжкових полиць цих двох моделей, що максимізують прибуток фірми. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
1.1.7 Для невеликої птахоферми потрібно розрахувати оптимальний кормовий раціон на 1000 курчат, яких вирощують з 4-х до 8-тижневого віку. Нехтуючи тим, що потижневі витрати кормів для курчат залежать від їхнього віку, вважатимемо, що за 4 тижні курча споживає не менше 500 г суміші. Крім цього, кормовий раціон курчат має задовольняти певні вимоги щодо поживності. Сформулюємо ці вимоги у спрощеному вигляді, беручи до уваги лише дві поживні речовини: білок і клітковину, що містяться у кормах двох видів – зерні та соєвих бобах. Вміст поживних речовин у кожному кормі та їх вартість маємо у табл. 1.
Таблиця 1 – Поживність та вартість кормів
Корм |
Вміст поживних речовин в 1 кг корму, % |
Вартість 1 кг корму, у. о. |
|
білку |
клітковини |
||
Зерно |
10 |
2 |
0,40 |
Соєві боби |
50 |
8 |
0,90 |
Готова кормова суміш має містити не менше як 20 % білка і не більш як 5 % клітковини.
Визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, водночас задовольняючи вимоги до загальної маси кормової суміші та її поживності. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі.
1.1.8 Фірма виготовляє з одного виду сировини два продукти А та В, що продаються відповідно за 8 та 15 копійок за упаковку. Ринок збуту для кожного з них практично необмежений. Сировина для продукту А обробляється верстатом 1, а для продукту В – верстатом 2. Потім обидва продукти упаковуються на фабриці. Схему виробництва продуктів А та В зображено на рис. 1.
Рисунок 1 – Схема виготовлення продуктів
Ціна 1 кг сировини – 6 копійок. Верстат 1 обробляє за годину 5 т сировини, а верстат 2–4 т сировини із втратами, що становлять відповідно 10 і 20%. Верстат 1 може працювати 6 год на день, причому його використання коштує 288 грн/год; верстат 2–5 год на день, що коштує 336 грн/год.
Маса продукту А в одній упаковці дорівнює 1/4 кг, а продукту В – 1/3 кг. Фабрика може працювати 10 год на день, щогодини упаковуючи 12 000 одиниць продукту А або 8000 одиниць продукту В. Вартість її роботи протягом 1 год становить 360 грн.
Необхідно відшукати такі значення х1 та х2 обсягів використання сировини для виготовлення продуктів А та В (у тоннах), які забезпечують найбільший щоденний прибуток фірми.
Побудувати економіко-математичну модель задачі.
Побудувати опорний план транспортної задачі методами мінімальної вартості, апроксимації Фогеля, північно-західного кута, подвійної переваги.
1.2.1 Однорідний
вантаж, зосереджений у m
постачальників в обсягах ai
(
)
необхідно поставити n
споживачам в обсягах bj
(
).
Відомі сij
;
)
– вартості перевезення одиниці вантажу
від кожного i-го
постачальника до кожного j-го
споживача. Необхідно скласти такий план
перевезень, використовуючи метод
stepping-stone, при якому запаси усіх
постачальників вивозяться повністю й
сумарні витрати на перевезення усього
вантажу мінімальні. Варіанти завдань
1 a = (30; 50; 20); b = (15; 15; 40; 30);
|
2 a = (40; 30; 35); b = (20; 34; 16; 10; 25);
|
3 a = (60; 70; 20); b = (40; 30; 30; 50);
|
4 a = (30; 20; 40; 50); b = (35; 20; 55; 30);
|
5 a = (40; 30; 20); b = (30; 25; 18; 20);
|
6 a = (68; 55; 40); b = (2; 3; 3; 16);
|
7 a = (130; 90; 40); b = (110; 30; 50; 80; 90);
|
8 a = (20; 20; 40; 45); b = (25; 30; 40; 15);
|
9 a = (45; 35; 70); b = (20; 60; 55; 45);
|
10 a = (40; 30; 50); b = (20; 18; 44; 75);
|
11 a = (30; 70; 50); b = (10; 40; 20; 60);
|
12 a = (30; 40; 70; 60); b = (35; 80; 25; 70);
|
13 a = (10; 20; 35; 45); b = (25; 30; 40; 15);
|
14 a = (9; 4; 8); b = (3; 5; 6);
|
15 a = (10; 15; 25); b = (5; 10; 20; 15);
|
16 a = (17; 14; 21; 43); b = (19; 22; 23; 17; 14);
|
17 a = (28; 13; 15; 30); b = (27; 16; 25; 11; 7);
|
18 a = (9; 18; 23; 26); b = (11; 22; 31; 6; 6);
|
19 a = (24; 14; 19; 17); b = (22; 9; 12; 13; 18);
|
20 a = (12; 17; 18; 13); b = (10; 8; 12; 14; 16);
|
21 a = (21; 21; 23; 23); b = (22; 22; 22; 11; 11);
|
22 a = (24; 15; 16; 24); b = (12; 13; 14; 31; 9);
|
23 a = (24; 12; 18; 16); b = (11; 13; 26; 10; 10);
|
24 a = (16; 12; 14; 18); b = (7; 8; 4; 11; 30);
|
25 a = (33; 25; 25; 17); b = (33; 11; 11; 11; 34);
|
26 a = (18; 23; 17; 22); b = (21; 21; 9; 9; 20);
|
27 a = (33; 33; 33; 11); b = (22; 22; 22; 22; 22);
|
28 a = (16; 15; 24; 15); b = (15; 15; 15; 15; 10);
|
29 a = (24; 27; 16; 13); b = (16; 16; 16; 16; 16);
|
30 a = (14; 14; 14; 18); b = (12; 12; 12; 12; 12);
|
31 a = (8; 10; 5); b = (5; 5; 10);
|
32 a = (8; 7; 6); b = (7; 10; 6);
|
33 a = (15; 10; 5; 20); b = (10; 20; 15);
|
34 a = (10; 20; 40); b = (30; 10; 60);
|
35 a = (30; 35; 60); b = (25; 25; 40; 30);
|
36 a = (160; 80; 60); b = (60; 20; 40; 20; 100);
|
37 a = (5; 20; 10); b = (10; 25; 15);
|
38 a = (30; 40; 20); b = (40; 30; 20; 40);
|
39 a = (30; 40; 50); b = (35; 30; 60);
|
40 a = (10; 20; 80; 50); b = (30; 10; 60; 50);
|
41 a = (40; 20; 50; 20); b = (20; 45; 35; 40);
|
42 a = (10; 80; 15); b = (75; 20; 50);
|
43 a = (80; 40; 60; 40); b = (70; 60; 80);
|
44 a = (75; 40; 35; 40); b = (20; 60; 140);
|
45 a = (60; 90; 50); b = (30; 80; 20; 40);
|
46 a = (30; 80; 20; 40); b = (60; 80; 20);
|
47 a = (10; 10; 30; 20); b = (20; 30; 20; 10);
|
48 a = (20; 40; 30); b = (30; 20; 20);
|
49 a = (20; 25; 20; 10); b = (20; 30; 40; 15);
|
50 a = (20; 16; 14; 22); b = (16; 18; 12; 15);
|
51 a = (10; 8; 15; 12); b = (15; 10; 5; 20);
|
Розв’язати транспортну задачу методом потенціалів
1.3.1 Розв’язати аналітичним методом транспортну задачу, варіанти якої подані в п. 1.2.1. Перевірити рішення, розв’язавши задачу за допомогою інструменту «Пошук рішення» в MS Excel.
1.3.2 Розв’язати наступну задачу: компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти 150, 60 та 80 тис.од. продукції щотижня. Компанія уклала договір з чотирма замовниками В1, В2, В3, В4, яким потрібно щотижня відповідно 110, 40, 60 та 80 тис.од. продукції. Вартість виробництва та транспортування 1000 од. продукції замовниками з кожної фабрики наведено в таблиці.
-
Фабрика
Вартість виробництва і транспортування 1000 од. продукції за замовниками
В1
В2
В3
В4
А1
4
4
2
5
А2
5
3
1
2
А3
2
1
4
2
Визначити для кожної фабрики оптимальний план перевезення продукції до замовників, що мінімізує загальну вартість виробництва і транспортних послуг.
Відповідь:
Z3
= 720 (ум. од.),
.