- •Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности.
- •Основные формулы комбинаторики.
- •Сумма событий. Вероятность суммы совместных и несовместных событий.
- •Произведение событий. Вероятность произведения зависимых и независимых событий.
- •Полная группа событий. Формула полной вероятности.
- •Формулы Байеса.
- •Формулы Бернулли.
- •Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.
- •Простейший поток событий.
- •Дискретные случайные величины. Мат.Ожидание дискретной случайной величины.
- •Основные виды распределений дискретных случайных величин.
- •Свойства мат.Ожидания. Мат.Ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях.
- •Дисперсия дискретной случайной величины. Способы вычисления дисперсии.
- •Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в n независимых испытаниях.
- •Начальные и центральные теоретические моменты.
- •Функция распределения дискретной и непрерывной случайных величин. Свойства функции распределения. График функции распределения.
- •Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности.
- •Связь между функцией распределения и плотность распределение вероятности.
- •Мат. Ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •Равномерное и показательное распределения.
- •Нормальное распределение. Параметры нормального распределения. Нормальная кривая.
- •Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.
- •Статистическое распределение выборки. Группированный статистический ряд.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Полигон, гистограмма.
- •Числовые характеристики выборки. Выборочная средняя мода, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
- •Точечные оценки для m(X) и d(X) количественного признака.
- •Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
Основные виды распределений дискретных случайных величин.
Свойства мат.Ожидания. Мат.Ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях.
Дисперсия дискретной случайной величины. Способы вычисления дисперсии.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D(X) = M (X – M(X))².
Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
Теорема D(X) = M(X ²) – M ²(X). Доказательство.
Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:
D(X) = M(X – M(X))² = M(X² - 2X·M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X)·M(X) + M²(X) =
= M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.
Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в n независимых испытаниях.
Свойства Диспрсии:
Свойства дисперсии.
Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D (C) = 0.
Док-во.D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(CX) = C²D(X).
Доказательство. D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = C²D(X).
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) +
+ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Доказательство. D(X – Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
. (7.12)
Начальные и центральные теоретические моменты.
Функция распределения дискретной и непрерывной случайных величин. Свойства функции распределения. График функции распределения.
Функции распределения:
Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: F (x) = p (X < x).
Свойства функции распределения.
0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.
Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).
В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:
p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).
Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).
Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.