2Ой способ (не нашла его, поэтому своими словами!!):

Для нахождения матрицы обратной матрице А, запишем расширенную матрицу(AIE) (Е – единичная матрица). Путем элементарных преобразований необходимо получить слева единичную матрицу, т.е. (EIB). Матрица В (та, которая получится справа) и есть обратная матрица матрице А. (Для проверки можно перемножить матрицы А и В, должна получится в результате единичная матрица.)

Билет №12. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

1. Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков тех определителей, отличных от нуля, которые можно составить из рядов матрицы.

3. Ранг матрицы – наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Базисным минором называется любой, отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Для вычисления ранга матрицы необходимо получить трапециевидную матрицу с помощью элементарных преобразований (Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями). Высота трапеции в полученной матрице и будет рангом. (ЭТО ТОЖЕ САМА ФОРМУЛИРОВАЛА!!!)

Билет №13. Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системы линейных уравнений. Определение однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной, неопределенной системы линейных уравнений.

Решением системы линейных уравнений АХ=B называется упорядоченная совокупность n чисел, при подстановке которых вместо соответствующих переменных во все уравнения системы превращаются в верные равенства.

(Решением системы уравнений называется такой n-мерный вектор Х = (x1, x2,...,xn), который одновременно является решением каждого из уравнений системы.)

Система уравнений может быть записана в векторной форме:

A1x1 + A2x2 + ... + Anxn =B

и в матричной форме:

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. (Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, то система совместна, если эти ранги не равны, то система не совместна).

Система линейных уравнений называется определенной, если система имеет одно решение, и неопределенной, если система имеет 2 и более решений. (Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных в этой системе, то система имеет 1 решение, а если эти ранги равны, но меньше числу неизвестных, то система является неопределенной).

Линейная система АХ=B называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю: В=0. Система является неоднородной, если все свободные члены не равны нулю.

Билет №14. Матричный способ решения системы линейных уравнений. Формулы Крамера.

Билет №15. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о числе решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения искомых неизвестных величин. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы D системы, матрицу А системы приводят к ступенчатому виду.

Билет №16. Линейное (векторное) пространство. Пространство Rⁿ и линейные операции в этом пространстве. Скалярное произведение n-мерных векторов. Косинус угла между m-мерными векторами.

Множество n-мерных векторов, для которых определены действия сложения, вычитания и умножения на число, называют n-мерным векторным пространством Rⁿ.

1. Сложение n-мерных векторов. Суммой двух n-мерных векторов является вектор, каждая координата которого равна сумме одноименных координат слагаемых векторов.

2. Разностью двух n-мерных векторов является вектор, каждая координата которого равна разности одноименных координат слагаемых векторов.

3. Произведением числа на n-мерный вектор называется вектор, каждая координата которого равна произведению этого числа на одноименную координату данного вектора.

4. Скалярным произведением векторов и в многомерном пространстве называется число

Величиной угла между ненулевыми n-мерными векторами и называется число :

Билет №17. Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости векторов в пространстве.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части тривиальная.

Критерий: векторы являются линейно зависимыми, если один из векторов можно выразить через другие.

Билет №18. Базис линейного пространства. Примеры базисов пространства. Теорема о единственности разложении вектора линейного пространства по базису.

Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов. В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Теорема:

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство: http://fxdx.ru/page/razlozhenie-vektora-po-bazisu#cut

Билет №19. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение, соответствующее квадратной матрице.

Собственным числом а соответствующей матрицы А является решение характеристического уравнения: IА-аЕI = 0

Собственным вектором Х соответствующий собственному числу а матрицы А является решение равенства: (А - аЕ)Х = 0

Свойства собственных чисел квадратной матрицы:

1. Сумма собственных чисел матрицы А равна сумме ее диагональных элементов (следу этой матрицы).

2. Произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы.

3. Число отличных от нуля собственных чисел матрицы А равно ее рангу.

4. Если число а – собственное число невырожденной матрицы А, то 1/а – собственное число матрицы А^-1.

5. Если а – собственное число невырожденной матрицы А, то а^k – собственное число матрицы А^k при любом целом k>1

6. Квадратная матрица А и А^Т подобны.

7. Собственными числами диагональной матрицы являются числа, стоящие на ее главной диагонали.

8. Если все собственные числа матрицы А различны, V – матрица, столбцами которой являются собственные вектора матрицы А, соответствующие разным собственным числам этой матрицы, то матрица V^-1AV – диагональная матрица, подобная матрице А.

Свойства собственных векторов квадратной матрицы.

1. Собственные числа матриц А и А^Т совпадают.

2. Собственные значения подобных матриц совпадают.

3. Собственные векторы матрицы, соответствующие ее различным собственным числам, линейно независимы.

4. Если все собственные числа квадратной матрицы n-ого порядка различны, то соответсвтующие им собственные векторы образуют базис пространства Rⁿ.

5. Любая не равная нулевому вектору линейная комбинация собственных векторов данной матрицы, соответствующих одному и тому же собственному числу этой матрицы, также является собственным вектором данной матрицы.

6. Если число 1 есть собственное число неотрицательной матрицы а, то существует полуположительный собственный вектор Х соответствующий этому собственному числу.

Характеристическое уравнение соответствующее матрице: IA-aEI=0