§ 6. Поля заряженных проводников

Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем слу­чае требуя нескольких интегрирований. Теперь мы обратимся

к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников.

Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по ве­личине Q, помещены на проводнике. Теперь уже мы не можем точно сказать, где они расположатся. Они как-то растекутся по поверхности. Как же узнать, как они на ней распределятся? Распределиться они должны так, чтобы потенциал вдоль всей поверхности был одним и тем же. Если бы поверхность не была эквипотенциальной, то внутри проводника существовало бы электрическое поле и заряды вынуждены были бы двигаться до тех пор, пока поле не исчезло бы. Общую задачу такого рода можно было бы решать так. Предположим, что распределение зарядов такое-то, и рассчитаем потенциал. Если он оказывается на поверхности повсюду одинаковым, то задача решена. Если же поверхность не эквипотенциальна, то значит, мы сделали непра­вильное предположение о распределении зарядов; сделаем но­вое предположение и постараемся, чтобы оно было удачнее! Так может продолжаться без конца, разве что вы здорово набье­те руку на таких пробах.

Вопрос о том, как догадываться о распределениях, матема­тически труден. Конечно, у природы есть время решать его; заряды притягиваются и отталкиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно. А когда мы пробуем решить задачу, то каждая проба занимает так много времени, что этот метод оказывается очень громоздким. Когда имеется произвольный сложный набор проводников и зарядов, задача весьма услож­няется, и в общем случае не может быть решена без специально разработанных численных методов. Такие численные расчеты в наши дни выполняются на счетных машинах, которые могут все посчитать за нас, если мы им объясним, как это сделать.

С другой стороны, имеется множество мелких практических случаев, в которых, к нашему удовольствию, удается добиться решения каким-то прямым методом, не составляя программы для машины. На наше счастье, во многих случаях с помощью того или иного фокуса можно выжать ответ из природы.

Первый такой фокус, который мы хотим вам показать, со­стоит в использовании уже известных решений задач с фиксированным расположением зарядов.

§ 7. Метод изображений

Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверх­ности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмот­рим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности

Фиг. 6.8. Линии поля и эквипо­тенциальные поверхности двух точечных зарядов.

накладывается на эту поверх­ность. Если его действитель­но наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет даже знать, что он там лежит, потому что ничего от его появле­ния не изменилось.

А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы ре­шили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на экви­потенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в Гл. 5, § 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, сна­ружи поле всегда одно и то же. Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Вы­ходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверх­ности проводника нормально к ней.

Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом q и воображаемым точечным зарядом —q, помещенным в подходящем месте. А точечный заряд, ко­торый мы представили себе существующим за проводящей по­верхностью, так и называется зарядом-изображением.

В книгах можно найти длинные перечни решений задачи электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчи­тать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу

Фиг. 6.9. Поле вне проводника, изогнутого вдоль эквипотенци­альной поверхности А на пре­дыдущем рисунке.

с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появля­ются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну и написал работу, в которой указал, что поля снаружи про­водника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.