1.5. Уравнение Слуцкого и выводы из него

Одним из основных в теории выбора потребителя является уравнение, опубликование Е. Е. Слуцким в 1915 г.

Пусть - решение задачи потребителя, будем считать, что функции дифференцируемы по своим аргументам. Допустим, что цена на -ый товар увеличилась, тогда новая точка спроса при неизменных остальных ценах и доходе изменится (окажется на кривой безразличия, которая расположена ближе к началу координат. чем ), т.е. изменится и полезность, причём . Изменим доход таким образом, чтобы значение максимальной полезности в точке было равным значению максимальной полезности в новой точке , т.е. чтобы эта точка принадлежала той же кривой безразличия, что и : .

Рис. 10

Уравнение Слуцкого позволяет связать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса:

(11)

При выводе уравнения Слуцкого получаются следующие соотношения:

1. , т.е. при увеличении цены компенсация дохода имеет положительный характер: , а при уменьшении цен доход также надо уменьшить.

2. , т.е. при повышении цены товара, его потребление уменьшается даже при компенсации дохода.

3. . Это означает, что есть товары ценные в наборе потребителя и малоценные.

4. Если -ый товар – ценный, то , т.е. спрос на ценный товар при повышении цены уменьшается.

Однако есть товар который ведёт себя "неправильно": при повышении цены на него увеличивается и спрос на него:

- это так называемый товар Гиффена.

Если , то –ый товар называется товаром – заменителем - го товара.

5. . Так как и найдется какой-то -ый товар, для которого , т.е. потребление -го товара возрастает при повышении цены на -ый товар.

6. Условие симметричности: .

Пример 2.6. Для функции полезности найдите, насколько изменится спрос на первый товар при увеличении цены на второй товар на 1% при компенсации дохода.

Решение: Изменение спроса на один товар при увеличении цены на другой на 1% при компенсации дохода выражает коэффициент эластичности .

Функции спроса (см. пример 2.3, пункт а)): и .

Из уравнения Слуцкого найдём .

Подставляя в это выражение , и , получим:

=> искомый коэффициент эластичности: %, т.е. при увеличении цены на второй товар на 1% при компенсации дохода спрос на первый товар увеличится на 0,5% (следовательно, речь идёт о товарах-заменителях).

■

Уравнение Слуцкого можно записать иначе – используя понятие коэффициента эластичности спроса на товар. Предположим, что цена на -й товар увеличивается, тогда:

.

Левая часть представляет собой изменение спроса на -й товар при увеличении цены на него и неизменных ценах на остальные товары из набора при прежнем доходе потребителя . Первое слагаемое правой части – это изменение спроса на -й товар при увеличении цены на него , неизменных остальных ценах и компенсации дохода. Домножим обе части уравнения на . Получим:

Учитывая, что – коэффициент эластичности спроса на -й товар по цене, – эластичность спроса на -й товар при неизменном реальном доходе;

,

тогда, уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности:

. (12)