- •1. Дифференциальным уравнением (ду) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).
- •2. Решить ду – значит найти все его решения!
- •3. Решение ду – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнение, обращает его в тождество!
- •3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!
3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!
Пример 3–100: Решить дифференциальное уравнение: – =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: = = = + .
3). Вычислим производную: = – и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = + + = .
4). Вычислим интеграл: = = = .
5). Запишем решение: = + = . У нас: + = .
Ответ: + = – общее решение.
Пример 4–102: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: = = = .
3). Вычислим производную: = и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = .
4). Вычислим интеграл: = =0.
5). Запишем решение: = + = . У нас: = .
Ответ: = – общее решение.
Пример 5–104: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: = = = .
3). Вычислим производную: = и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = = .
4). Вычислим интеграл: = = = .
5). Запишем решение: = + = . У нас: + = .
Ответ: + = – общее решение.
Пример 6–149: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: = = = .
3). Вычислим производную: = и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = = .
4). Вычислим интеграл: = = = .
5). Запишем решение: = + = . У нас: + = . Воспользовались свойством произвольной постоянной величины .
Ответ: + = – общее решение.
Пример 7–154: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: = . У нас: = и = → заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Вычислим интеграл: = = = .
3). Вычислим производную: = и запишем условие: = – . Для заданного уравнения: = = .
4). Вычислим интеграл: = = = .
5). Запишем решение: = + = . У нас: = . Воспользовались свойством произвольной постоянной величины .
Ответ: = – общее решение.
П ример 8–171: Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если для любого отрезка [1,x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше отношения абсциссы концевой точки к ординате .
Решение:
1) Так как вычисление площади требует применения интеграла, то в соответствии с условием задачи запишем равенство: = +2. Как решают такие уравнения, мы не знаем: изучаем дифференциальные уравнения и, вдруг, в равенстве появился интеграл!.. Для перехода к известным образам продифференцируем равенство с интегралом по переменной . Получаем:
. (1)
2) Так как по условию , уравнение (1) можно записать в виде:
. (2)
3). Уравнение (2) есть уравнение Бернулли в стандартной форме для значения , при этом имеем: = и = .
2). Применим подстановку: = и перепишем (1) как: , то есть: , или , где = , = .
3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв .
4). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .
5). Вычисляем: = + = + = + .
6). Запишем общее решение уравнения: = ∙ , или = . По условию: кривая проходит через точку , получим частное решение: = .
Ответ: = – общее решение; частное решение: = .
Пример 8–187: Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры от времени , если тело, нагретое до градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна градусам.
Р ешение:
Замечание: рисунок «мотивирует» решение задачи, а также «намекает», что охлаждение тела происходит за счет «молекулярного взаимодействия» тела и среды: подвеска тела к потолку на тонкой нити с минимальной теплопроводностью.
1). Из условия задачи следует дифференциальное уравнение:
. (1)
2). Уравнение (1) – ДУ с разделяющимися переменными. Его интегрирование не представляет труда: . (2)
3). Учитывая начальные условия, из уравнения (2) получаем: – закон охлаждение тела в заданных условиях.
Ответ: – общее решение уравнения. Частное решение: .
☻
Вопросы для самопроверки:
Как определяют ДУ в полных дифференциалах?
Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?
Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?
Что такое «интегрирующий множитель уравнения»?
Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.
Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.
Задачи для самоподготовки:
Пример C5–1: Решить дифференциальное уравнение: , предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: + = – общее решение ДУ.
Пример C5–2: Решить дифференциальное уравнение: + =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: + = – общее решение ДУ.
Пример C5–3: Решить ДУ: + =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C5–4: Решить дифференциальное уравнение: + =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C5–5: Решить ДУ: + =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Ответ: = – общее решение ДУ.
Пример C5–6: Решить дифференциальное уравнение: – =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах
Ответ: – частное решение.
Пример C5–7: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.
Ответ: Случай-1: ; Случай-2: – частные решения ДУ.
Пример C5–8: Через сколько времени температура тела, нагретого до 1000C, понизится до 250C, если температура помещения равна 200C и за первые 10 мин тело охладилось до 600C?
Ответ: t ≈ 40 мин.
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Если Дифференциальное уравнение 1-порядка записано в виде: , то говорят, что это уравнение – неразрешённое относительно !..
Рассмотренные ранее типы уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, линейные, однородные... достаточно просто можно было разрешить относительно . Теперь мы рассмотрим такие уравнения, которые:
• достаточно сложно приводятся к форме записи уравнения ;
• принципиально не могут быть приведены к форме записи уравнения .
Мы рассмотрим только некоторые из типов уравнений, неразрешённых относительно производной , а именно:
1. Левая часть уравнения есть многочлен n-ой степени относительно символа : , (1)
где – функции от переменных: (в частном случае постоянные).
В высшей алгебре доказано, что многочлен левой части уравнения (1) в любом случае может быть преобразован в произведение простейших множителей:
. (2)
Из записи (2) следует уравнений 1-го порядка: , . Решение каждого такого уравнения даст функцию , являющуюся решением уравнения (1).
Замечание: На самом деле, начиная с многочлена 3-й степени, процесс разложения многочлена в произведение простейших скобок весьма трудоёмкий!..
2. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее x: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.
• Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: = , интегрированием которого получаем: = .
• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .
3. Уравнение, разрешенное относительно x и не содержащее y: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: .
• Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.
• Интегрируя уравнение: = получаем: = .
• Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .
4. Уравнение, разрешенное относительно y и содержащее x: . Для решения таких уравнений применяют специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
• Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции по переменной , именно: = . Заменяя = , получим: = .
• Составим систему: – из этой системы находят решение в явном или параметрическом виде.
Замечание: Рассмотренные в этом Занятии примеры вполне иллюстрируют особенности решения подобных задач!..
5. Уравнение Лагранжа: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:
• Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: .
• Дифференцируем по переменной : . Учитывая = , запишем: .
• Выделим решение . Может быть получено несколько решений: , каждое из которых дополнительно анализируют после получения общего решения!
• Теперь . Учитывая = , перепишем: в виде линейного уравнения: – = . Пусть его решение: .
• Составим систему: – общий интеграл уравнения Лагранжа.
••• ≡ •••
Пример 1–114: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
Замечание: Заданное уравнение представляется многочленом 3-го порядка и разложение его в произведение скобок выполняется трудоёмко!..
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Это специальная форма уравнения, неразрешённого относительно . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме.
2). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
3). Имея: , запишем , где = . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = . В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!
4). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: = , которое легко интегрируется: = , то есть = .
5). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение – особое.
Замечание: Решение называют особым, если оно не может быть получено из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной!..
Пример 2–116: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = . Так как есть некоторая функция переменной , то и .
2). Имея: , запишем , где = . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = . В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!
3). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: = , которое легко интегрируется: = , то есть = .
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать: не получится!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 3–118: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = .
2). Имея: , запишем , где = . В то же время , или: = . В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!
3). Интегрируем уравнение: = = , или = .
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 4–120: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = .
2). Имея: , запишем , где = . В то же время , или: = . В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!
3). Интегрируем уравнение: = = , или = .
4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.
Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 5–122: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и =0.
2). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: = .
3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая = , запишем: . В нашем случае: = , производная = и =0. Тогда уравнение имеет вид: =
4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено: , , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..
5). Теперь . Учитывая = , перепишем: в виде:
– = – линейное уравнение,
решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение: .
6). Cоставим систему: у нас: – общий интеграл заданного
Ответ: – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.
Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: , применяя метод введения параметра.
Решение:
1). Форма записи уравнения имеет вид: – уравнения Лагранжа в общем виде. В нашем случае: = и = .
2). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . В нашем случае: .
3). Дифференцируем по переменной : . Учитывая = , запишем: . В нашем случае: = , производная = и = . Тогда уравнение имеет вид: = .
4). Выделим решение . В нашем случае: =0. Получено: , , или, используя: , можем записать решения исходного уравнения: и . Эти решения проанализируем после получения общего решения!..
5). Теперь . Учитывая = , перепишем: в виде:
– = – линейное уравнение,
решая последнее, получим . В нашем случае: , его решение найдём применением общего алгоритма решения линейного уравнения:
• Решение уравнения ищем в виде функции: .
• Вычислим: = = , и запишем: u= , то есть .
• Вычислим: = = + , и запишем.
• Запишем общее решение линейного уравнения: = ∙ . Если последнее записать в виде: = ∙ + и в первой дроби выполнить преобразование выделение целой части, то = .
6). Вычислим: = , и запишем:
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: и .
☻
Вопросы для самопроверки:
Как определяют уравнение 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?
Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.
Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?
Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?
Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?
Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?
Что такое «Уравнения Лагранжа»?
Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.
Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.
Задачи для самоподготовки:
Пример C6–1: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение – особое.
Пример C6–2: Найти общее решение уравнения: .
Ответ: – общее решение уравнения. Решение – особое.
Пример C6–3: Найти общее решение уравнения: .
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример C6–4: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.
Ответ: – общее решение, – особое решение.
Пример C6–5: Найти решение уравнения Лагранжа , применяя метод введения параметра.
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.
Пример C6–6: Найти решение уравнения Лагранжа , применяя метод введения параметра.
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.
Пример C6–7: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.
Ответ: или – частные решения для: =1.
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 7. Повторение: все типы уравнений 1-го порядка. Обзорные упражнения: определение типа дифференциального уравнения и обсуждение общего алгоритма решения. Систематизация знаний. Подготовка к контрольной работе.
☺ ☻ ☺
Систематизация знаний по дифференциальным уравнениям первого порядка предполагает повторение основных понятий теории Дифференциальных уравнений с их толкованием и примерами использования при решении заданных ДУ и при решении простых геометрических и физических задач.
Повторение темы Классификация различных дифференциальных уравнений предполагает быстрое распознавание произвольно выбираемых из Задачника примеров.
Применение общих алгоритмов решения ДУ первого порядка при рассмотрении конкретного уравнения проводится с соблюдением принципов обоснованности (правомерности) последовательно применяемых шагов решения.
Основные требования по оформлению решения любого уравнения при выполнении домашнего Задания и Контрольной работы.
Замечание: 1). При подготовке к настоящему Занятию необходимо тщательно повторить материал Глав 1-5 Пособия по Дифференциальным уравнениям для факультета ЭТМО 1-го курса.
2). Предполагается за время проведения Занятия оценить степень готовности к выполнению Контрольной работы по ДУ № 1 всех студентов группы!..
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 8. Уравнения 1-го порядка. Контрольная работа №1. Прием части-1 БДЗ. Выдача части-2 БДЗ.
☺ ☻ ☺
Контрольная работа №1 предназначена оценить степень усвоения основных понятий теории Дифференциальных уравнений и способов решения простейших типов ДУ первого порядка:
• Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
• Однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному уравнению 1-го порядка.
• Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
• Уравнения в полных дифференциалах.
• Уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной.
Состав и степень трудности предлагаемых в Контрольной работе заданий согласовывается с Методическим советом кафедры «Высшая математика».
При разработке заданий Контрольной работы учитывается также требование побудить студентов повторить пройденный материал по предмету. Это значит, что в заданиях не должно быть ничего такого, что, так или иначе, требует самостоятельных обобщений и выводов со стороны студентов.
Перед выполнением Контрольной работы студенты должны ознакомиться с перечнем вопросов, которые будут отражены в заданиях. Также важным элементом подготовки к контрольной работе должны быть регулярные текущие контрольные мероприятия в виде оперативных опросов: по 6-7 минут в начале каждого занятия.
Прием части-1 БДЗ определяется двумя последовательными мероприятиями:
1). Формальный приём выполненных Заданий непосредственно в аудитории: проверка на соответствие правилам закрепления вариантов заданий за каждым студентом.
2). Защита выполненных заданий БДЗ каждым студентом в специально назначенное время (обычно, в день консультаций по предмету). Определение окончательной оценки качества выполнения Части-1 БДЗ.
Замечание: 1). Сборник заданий по БДЗ находится в информационной системе института с самого начала семестра, постоянно.
2). Сборник заданий по БДЗ содержит по каждому заданию примеры решения и оформления.
< * * * * * >
• •••☻••• •
Разработчик: к. т. н., доцент кафедры ВМ-2 ____________________ (А. И. Литвинов)