Глава 3

Координатный метод

145

9. На оси Ox найдите точку, равноудалeнную от точек A (3; 4) и B (7; 8).

10. На оси Oy найдите точку, равноудалeнную от точек F (–8; 10) и T (6; 12).

11. Найдите точку A, лежащую на оси Ox, если расстояние от нее до точки B (–5; 6) равно 10.

12. Составьте уравнение окружности, если еe центр лежит на оси Ox и она проходит через точки A (8; 5) и B (–1; –4).

13. Составьте уравнение окружности, если еe центр лежит на оси Oy и она проходит через точки F (5; –1) и T (3; 7).

14. Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка, соединяющего точки A (–2; –7) и B (6; –3).

15. Точка A (–3; –2) служит концом отрезка, середина которо­го — точка C (–2; 3). Найдите координаты второго конца отрезка.

16. Серединами сторон треугольника ABC служат точки F (1; 3), T (–1; –2) и O (4; –1). Найдите координаты вершин треугольника.

17. То ч к и A (3; 2), B (–2; 1) и C (1; –4) — вершины парал­лелограмма, причем A и C — противолежащие вершины. Найдите координаты вершины D.

18. Смежными вершинами параллелограмма служат точки A (–3; 1) и B (1; 3). Найдите координаты двух других вершин, если диагонали параллелограмма пересекаются в точке O (1; –2).

19. Вычислите длину медианы AF треугольника ABC, если A (–4; 2), B (0; –2), C (2; 6).

20. В треугольнике ABC координаты вершин A (–1; 3), B (3; 7), C (5; 2). Вычислите длину медианы CF.

21. Вершины прямоугольника ABCD имеют координаты A (–5; 1), B (–2; 5), C (6; –1). Найдите координаты вершины D и площадь прямоугольника.

22. Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты A (–2; 2), B (2; 5), C (5; 1), D (1; –2). Докажите, что четырехугольник ABCD является квадратом.

Скачено с Образова

23. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A (3; 1), B (–2; 6) и С (–5; –3).

24. Составьте уравнение множества точек плоскости, сумма квад­ратов расстояний которых от двух данных точек A (0; –2) и В (0; 2) есть величина постоянная, равная 33.

25. Составьте уравнение множества точек плоскости, если рассто­яние каждой из них от точки F (6; 0) в три раза больше их расстояний от точки T (2; 0).

26. Составьте уравнение множества точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом, если A (–4; 0) и B (4; 0).

27. Даны две окружности с общим центром. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки, лежащей на одной окружности, до концов диаметра второй окружности есть величина постоянная.

28. Составьте уравнение множества точек, равноудаленных от точек A (–3; 5) и B (1; –1). Охарактеризуйте данное множество.

29. Дан прямоугольный треугольник AC B с прямым углом при вершине C. Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM² + BM² = 2CM².

30. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треуголь­ника равноудалена от его вершин, т. е. является центром окружности, описанной около этого треугольника.

31. Дан равносторонний треугольник ABC. Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM² + BM² = CM².

32. Пусть ABC — равносторонний треугольник. Докажите, что множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется равенство AM² + BM² = 2CM², есть прямая, проходящая через центр треугольника ABC и параллельная стороне AB.

33. Пусть ABCD — прямоугольник. Докажите, что для произволь­ной точки M плоскости верно следующее равенство:

AM² + CM² = BM² + DM².

портала www.adu.by

146