§3. Наращение по простым процентам.

3.1. Формула наращения.

Определение. Под наращенной суммой ссуды S (долга, других видов инвестиционных средств и т.д.) понимается первоначальная сумма P вместе с начисленными на нее процентами I к концу срока. Наращенная сумма S определяется умножение первоначальной суммы ссуды (principal) P на множитель наращения : S=P Формула расчета множителя наращения зависит от применяемой процентной ставки и условий наращения.

Пусть процентная ставка постоянна на протяжении всего срока Из определения процентной ставки i можем записать I_T=Pi, где I_T проценты начисленные на первоначальную сумму P за время равное одному периоду (t=T). Так как исходной базой для начисления по простым процентам на протяжении всего времени ссуды является первоначальная сумма P, то проценты за второй период также будут также равны I_T, и т.д. Следовательно, за весь срок ссуды t равный n периодам , будем иметь следующую величину процентов:

(1.1)

Как следует из этого соотношения пропорциональную количеству периодов наращения, т.е. времени. Наращенная сумма долга за весь срок соответственно будет равна:

(1.2)

Это выражение называют формулой наращения по простым процентам или формулой наращения, а величина _i называется множителем наращения простых процентов.

Отметим, что наращение по простым процентам представляет собой процесс в виде арифметической прогрессии с разностью Pi между соседними членами прогрессии.

3.2. Краткосрочные проценты. На практике к наращению по простым процентам прибегают при краткосрочных ссудах, при этом срок ссуды t обычно меньше чем период начисления T по заданной процентной ставке i. В этом случае имеем:

Рассмотрим простую процентную ставку с годовым периодом начисления (временная база). Здесь возможны следующие варианты начисления:

-с использованием точного процента,

-с использованием обыкновенного (коммерческого) процента.

Точный процент получают, когда за временную базу принимают число дней равное календарному числу дней в году, т.е. T=365 дней. Обыкновенный процент получают, когда за временную базу берут год, состоящий из 12 месяцев по 30 дней каждый, т.е. T=360 дней.

Кроме того при начислениях, определение числа дней пользования ссудой может быть точным и приближенным. В первом случае подсчитывается фактическое количество дней, т.е. точное число дней между двумя датами, датой выдачи ссуды t_c и датой ее погашения t_p ; во втором случае количество дней определяется из предположения, что в месяце 30 дней. В обеих этих случаях день выдачи и погашения считается одним днем.

Для определения точного числа применяют специальную таблицу, в которой каждый календарный день имеет свой порядковый номер и вычисления проводят по формуле:

где N_c- порядковый номер даты выдачи ссуды, N_p - порядковый номер даты погашения.

Например, имеем дату выдачи ссуды t_c=1.02 и дату погашения t_p=3.03. Согласно таблицы получаем N_c=32 и N_p=62. Точное число дней t_t=N_p-N_c= 62-32=30.

Для определения приближенного числа дней используется следующая формула:

где M_c и L_c- месяц и число даты выдачи ссуды, а M_p и L_p - месяц и число даты погашения.

В соответствии с формулой (1.1), между точным I_m и обыкновенным I₀ процентами при одинаковой продолжительности ссуды существует следующее соотношение:

3.3. Переменные ставки. Реинвестирование. В кредитных соглашениях иногда предусматривается дискретно изменяющееся во времени процентные ставки. В этом случае, для срока погашения длительностью n, разбитого на m периодов c длительностью n_k k=1,...,m; наращенная сумма определяется по формуле:

(1.3)

где i_k - ставка простых процентов в периоде k.

В краткосрочных депозитах используют тоже дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки, но при этом простые проценты начисляются не на первоначальную сумму, а на наращенную сумму за все предыдущие периоды, т.е. мы каждый раз реинвестируем наращенную сумму. Для всего срока n, состоящего из m периодов, наращенная сумма будет равна:

(1.4)

где i_k и n_k - ставка простых процентов и продолжительность начислений по этой ставке в периоде k.