Вопрос 32

Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал.

ОТВЕТ

Различают точечное и интервальное оценивание. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность (границы интервала оценивания) и надежность (вероятность, с которой гарантирован результат оценивания) оценок.

Доверительным интервалом называют интервал (^*-;^*+), который покрывает неизвестную характеристику (параметр) генеральной совокупности с заданной надежностью (доверительной вероятностью) . То есть: P[^*-<^г<^*+]=. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве  берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Интервал (^*-;^*+) имеет случайные концы (доверительные границы), которые являются случайными величинами функциями от (X₁, X₂,..., X_n) и будут меняться от выборке.

На рис. 9 показаны доверительные интервалы для результатов оценивания по трем различным выборкам, но при одном и том же способе оценивания, одной и той же генеральной совокупности и одной и той же доверительной вероятности =0,9545. Здесь доверительный интервал под номером 3 «не покрывает» генеральную характеристику.

^г

Рис.9. Интервальное оценивание генеральной характеристики.

Вероятность того, что доверительный интервал не покроет генеральную характеристику (параметр) совокупности обозначают  и называют уровнем значимости.  =1-, т.е. при =0,95 =0,05; при =0,99 =0,01. Событие, обладающее столь малой вероятностью, считается практически невозможным.

Порядок расчета интервальной оценки характеристики (параметра) генеральной совокупности:

1. Определение точечной оценки характеристики (параметра) генеральной совокупности (^*).

2. Расчет средней (среднеквадратической) ошибки выборки - . Формулы расчета средней ошибки выборки - зависят от способа отбора и от вида оцениваемой характеристики (параметра) генеральной совокупности.

3. Расчет предельной ошибки выборки: , где t–коэффициент доверия.

При большом объеме выборки значение коэффициента доверия t находим из таблиц интеграла Лапласа по заданной доверительной вероятности . Так, для =0,95 t=1,96. При =0,99040 t=2,58.

При небольшом объеме выборки (n30) значение t определяют по таблицам интеграла распределения Стьюдента.

Распределение Стьюдента (рис.10) имеет один параметр – объем выборки (n), либо число степеней свободы (k=n-1). Данное распределение симметрично относительно оси ординат, похоже на стандартное нормальное распределение, только более пологое. При n распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению.

Рис. 10. Распределение Стьюдента.

Основные характеристики данного распределения: Е(t)=0; Mo=Me=0;

²=(n-1)/(n-3) >1; As=0; Ex=6/(n-5).

4. Результатом интервального оценивания является доверительный интервал: (^*-;^*+).