- •4 Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.
- •Арифм. Операции над посл-тями.
- •7. Властивості неперервніх на сегменті функцій: обмеженість, досягнення точніх граней, проміжні значення, нулі, рівномірна неперервність.
- •8. Означення похідної функції в точці. Геометричній і фізичний зміст похідної. Диференційовність та її зв’язок з неперервністю. Диференціал функції та його застосування.
7. Властивості неперервніх на сегменті функцій: обмеженість, досягнення точніх граней, проміжні значення, нулі, рівномірна неперервність.
Функц наз непрерывной в т , если
Пусть дано числовое множество , поставлено в соответствие число , тогда говорят что на множ Х задана числовая функция, и пишут ,
Функц наз непрерывной справа (слева) в т , если
Глобальные св-ва непрерывных ф-й
Глобальным наз св-во, связанное со всей областью определения ф-ции.
Опр. Ф-я f(x) наз. непрерывной на мн-ве X ( f(x) C(X)) если она непрерывна в каждой точке множества.
Опр. Функция наз. непрерывной на отрезке [a,b] (f(x) C[a,b]), если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Ограниченность. Тh: если непрерывна на , то это значит что функция ограничена на сегменте .
Достижение точных граней: Тh: если функция непрерывна на сегменте, то она на этом сегменте достигает своей точной верхней и точной нижней грани.
Нули: Тh: (Коши о промежуточном значении) если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обращается в нуль. ( )
Промежуточные значения: если функция непрер на интервале и в каких-то точках и интервале принимает значение и , то лежищего между и , найдется точка , лежащая между и , в которой .
Равномерная непрерывность: функц наз равномерно непрерывной на множ , если выполняются
если ф-ция равномерно непрер на множ, то она непрер в любой его точке
непрерывность ф-ции не влечет ее равномерную непрерывность
отрицание св-ва функции быть равномерно непрерывной: не явл равномерно непрер: = ( )
Тh: (кантора о равномерной непрерывности) ф-ция непренывна на отр, равномерна непрерывна на этом отрезке.
8. Означення похідної функції в точці. Геометричній і фізичний зміст похідної. Диференційовність та її зв’язок з неперервністю. Диференціал функції та його застосування.
Пусть дана ф-я , опред. на . Выберем любую т. и дадим нек. приращ. (настолько малое, что ) Приращ. ф-и в т. :
Опр. Производной ф-ей в точке от наз. предел отношения приращения ф-и к приращ. ее аргумента, когда последн. . ( )
Опр. наз. дифференцируемой в т. , если A=const, не зависящ. от , - бескон малая функ при
Th.
Утв: , т. е. если слева = справа
Опр. Лин. часть приращ. ф-и наз. диф-лом ф-и
Опр. наз. возраст. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.
, .
Опр. наз. убыв. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.
, .
Физический смысл: если функция описывает некоторый физический процесс, то производная является скоростью этого процесса.
Геометрический смысл: значение производной функции при равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функций в т. , тоесть