29. Поверхности 2-го порядка.

Общие ур-я 2-го порядка имеют вид:

К числу поверхностей 2-го порядка относятся: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус, цилиндры.

Приведем канонические ур-я этих поверхностей:

э ллипсоид:

Если т. М(x,y,z) эллипсоиду, то ему также будут точки: (-x,-y,-z), (-x,y,z,),(x,-y,z),(x,y,-z),(-x,-y,z),а это значит, что т. О(0;0;0) явл. центом симметрии. Пл-ти ХОУ,ХОZ,YOZ явл. пл-ми симметрии и координатные оси явл. осями симметрии. Эллипсоид- поверхность огранниченная.

однополостный гиперболоид: .

т.О(0;0;0)- т. симметрии; координатные пл-ти х=0,у=0,z=0 – пл-ти симметрии, оси x,y,z – оси симметрии. Сечение гиперболоида х=0 пл-тью есть гипербола: ; у=0: . Если рассечь гиперболоид z=h, то получим: . Из сказанного выше получаем, что однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность и имеет вид:

двуполостный гиперболоид: . т. О(0;0;0)- центр симметрии; координатные пл-ти явл. пл-ми симметрии; координатные оси- осями симметрии. Если рассекать эту поверхность пл-ми z=h , , то при гиперболоид не будет иметь точек с секущими пл-ми. При двуполостный гиперболоид будет иметь 2 общие точки (0;0;с) и (0;0;-с). Если , то в сечении получим эллипс: . Если мы рассечем поверхность пл-тью х=0, то получим гиперболу:

; если у=0, то гиперболу: . Из сказанного выше двуполостный гиперболоид неограниченная поверхность и имеет вид:

эллиптический параболоид:

х,у: z 0. Значит, что данная поверхность лежит в полупространстве z 0. Счение данной поверхности пл.-ми z=h>0 представляет собой эллипс: . А сечение поверхности координатными плоскостями х=0 и у=0 будут явл. параболами. Эти пл-ти явл. пл-ми симметрии,

а z- осью симметрии. Данная поверхность неограниченная и имеет вид:

гиперболический параболоид: . Сечение поверхности пл-тью у=0 или х=0 явл. параболой;

а сечение параболоида пл-ми z=h , , представляет собой гиперболы: ^. Ось z- ось симметрии, а пл-ти х=0, у=0 – пл-ти симметрии. Поверхность неограниченная.

к онус: . т. О(0;0;0)- центр симметрии, оси и пл-ти – оси и пл-ти симметрии. Сечение конуса пл-ми х=0 (у=0) представляет собой пару пересекающихся прямых, а сечение конуса пл-тью z=h представляет собой эллипс: .

Имеет следующий вид:

ц илиндры: а) эллиптический цилиндр

б) гиперболический цилиндр

в) параболический цилиндр у²=2рх

30. Квадратичные формы: ранг, канонический и нормальный виды, сигнатура. Способы сведения к каноническому виду.

Квадратичной формой х₁,х₂,…,х_n называют функцию f=a₁₁x₁²+a₁₂x₁x₂+…+a_1nx₁x_n+a₂₁x₂x₁+a₂₂x₂²+…+a_2nx₂x_n+…+a_nnx_n², (1.1)

где коэффициенты a_ik, k,i=1…n –R или K числа. Далее будем считать, что a_ik=а_ki.

Если все коэффициенты квадратичной формы R числа, то форма называется действительной. Если – K, то комплексной формой.

С квадратичной формой (1.1) можно связать квадратичную матрицу:

Ранг r матрицы называется рангом квадратичной матрицы. Если r=n, то квадратичная форма называется невырожденной. Квадратичную форму (1.1) можно записать в матричном виде:

f=х₁(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n)+х₂(a₂₁x₂+a₂₂x₂+…+a_2nx_n)+…=( x_1, x_2,.., x_n)* =( x_1, x_2,.., x_n)*A*

Лемма. Если А и Q квадратичные матрицы порядка n. Причем, если Q – невырожденная матрица, то rank(Q*A)=rank(A*Q)=rankA.

: Известно, что rank(Q*A) rankA и что rank(Q*A) rankQ+ rankA-n. (т.к. Q невырожденная матрица, то rankQ=n) Следовательно rank(Q*A) rankA rank(Q*A)= rankA.

Преобразование матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.

Выполнив в квадратичной форме (1.1) линейную замену переменных: (2.1)

через Q- матрицу линейного преобразования(2.1) выясним, какова матрица квадратичной матрицы f после замены. Для этого соотношение (2.1) запишем в матричном виде X=Q*Y, где , . Сделаем замену переменных X=Q*Y; f=X^t*A*X=(Q*Y)^t*A*Q*Y=Y^t*Q^t*A*Q*Y=Y^t*(Q^t*A*Q)*Y. Матрица В квадратичной формы f=Q^t*A*Q. Предположим, что (2.1) явл. невырожденной, т.е. detQ 0. Выясним, изменится ли rank квадратичной формы при невырожденном преобразовании переменных.

rankB= Q невырожденная матрица, то по лемме = rank((Q^t*A)*Q)= rank(Q^t*A)= rankA.

Т.о. после невырожденного преобразования (2.1) rank квадратичной формы не меняется.

Каноническим видом квадратичной формы называется .

Теорема Число неравных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно ее рангу.

Основная теорема о квадратичных формах.

квадратичная форма f=X^t*A*X может быть приведена к каноническому виду некоторым линейным невырожденным преобразованием переменных X=Q*Y. При этом, если квадратичная форма явл. R, то все элементы матрицы Q – R.(действительное линейное преобразование)

Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

1. пусть а₁₁ в квадратичной форме (1.1) 0 полагаем ; и преобразуем квадратичную форму к виду:

2. если в квадратичной форме все а_ii=0, , то делают замену: а₁₂ 0.

x₁=z₁-z₂

x₂=z₁+z₂

x_i=z_i,

Закон инерции квадратичных форм.

Рассмотрим R квадратичные формы. Будем предполагать, что переход от одной формы к другой осуществляется лишь линейным преобразованием переменных с R коэффициентами. R квадратичную форму f ранга r одним из таких преобразований переменных можно привести к каноническому виду: . Здесь коэффициенты b₁,b₂,..b_r –R 0 числа, среди которых есть положит. и отриц. канонический вид квадр. формы f действительного ранга r можно записать: , где с₁,с₂,..с_r>0. Совершив невырожденное линейное преобразование переменных, приведем форму f к нормальному виду:

, ,…, .

Теорема (закон инерции R квадратичных форм)

Число положительных и отрицательных квадратов переменных в нормальном виде, к которому приводится квадратичная R форма c R невырожденным линейным преобразованием переменных, не зависит от выбора этого преобразования.

Обозначим через число квадратов переменных с коэффициентом (+1) в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма f; а через - с коэффициентом (-1).

Величина называется положительным индексом инерции квадратичной формы, а величина - отрицательный индекс инерции. S= - -сигнатура квадратичной формы. Очевидно, что r= + , где r – rank кв.формы.

Заметим, что если кв.форма приведена к кан.виду: , . Т.о. положит. индекс инерции равен числу положительных коэффициентов при квадратах переменных, а отриц.индекс – число отрицательное.

Теорема. Для того, чтобы 2 R кв.формы f и g от одинакового числа переменных могли быть переведены одна в другую невырожденными линейными преобразованиями переменных чтобы они имели одинаковые ранги и сигнатуры.

Кв.форма от n переменных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов переменных. rank=n, =n, =0.

Теорема. Для того, чтобы R кв.форма f от n переменных явл. положительно определенной при R значениях переменных, среди которых хотя бы одно значение отличное от 0, кв.форма принимает положит. значение.

Лемма. Пусть -det матрицы R кв.формы .Пусть X=Q*Y - невырожденное R преобразование переменных. Тогда det матрицы кв.формы сохраняет знак при преобразовании X=Q*Y.

: f=X^t*A*X; X=Q*Y; f=(Q*Y)^t*A*(Q*Y)=Y^t*(Q^t*A*Q)*Y; B= Q^t*A*Q

- знаки совпадают.

Теорема.(критерий Сильвестра) Для того, чтобы кв.форма f=X^t*A*X от n переменных была положительно определенной чтобы все главные миноры ее матрицы А были строго положительны, т.е. а₁₁>0; >0,…

Приведение кв.формы к кан.виду ортогональными преобразованиями переменных.

(6.1)

называется ортогональным, если матрица Q этого преобразования явл. ортогональной, т.е. Q^-1=Q^t. Рассмотрим R кв.форму от n переменных f=X^t*A*X.

Пусть V - n-мерное евклидово пространство над полем R чисел. Возьмем ортонормированный базис ( ) V и будем смотреть на матрицу А, как на матрицу линейного оператора . Т.к. матрица А симметрична и все ее эл-ты R числа, то рассматриваемый линейный оператор явл. самосопряженным. Известно, что самосопряженный оператор порождает в V ортонормир. базис (f₁,f₂,..,f_n), все векторы кот. явл. собственными векторами оператора . Матрица оператора в базисе (f₁,f₂,..,f_n), явл. диагональной: , где - собственные значения оператора . Матрица А связана с соотношением В=Q^-1*A*Q, где Q-матрица перехода от базиса ( ) к базису (f₁,f₂,..,f_n).

Известно, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому пр-ва V явл. ортогональной. Q- ортогональная матрица.

B= Q^t*A*Q (6.2)

Известно, что при замене переменных (6.1) матрица А рассматриваемой кв.формы f преобразуется в матрицу В по закону (6.2). Т.о., если в (6.1) в качестве Q взять ортогональную матрицу перехода, то В кв.формы f после замены переменных (6.1) будет диагональной, а форма примет кан. вид:

Алгоритм приведения кв.формы к кан.виду операторным преобразовнием переменных.

1. записать матрицу А в кв.форме

2. определить из ур-я собственные значения матрицы А

3. собственного значения определить соответствующие ему линейно независимые собственные векторы(n-мерные матрицы столбцы); координаты этих векторов удовлетворяют следующей однородной системе ур-ий: . Искомая совокупность линейно независимых собственных векторов образует ФСР этой системы ур-ий.

4. Полученным собственным векторам, отвечающим собственному значению применить процесс ортогонализации

5. после того, как будут найдены все n собственных векторов n, образующим базис (f₁,f₂,..,f_n) в n-мерном Rевклидовом пр-ве матрицу столбцов нужно координаты векторов поместить в соответствующие столбцы искомой матрицы Q.

6. Написать кан. вид кв.формы: ; записать вид линейного преобразования переменных

Лемма. Нормальный вид положительно-определенной кв.формы сохраняется при ортогональном преобразовании переменных

Теорема. 2 R кв.формы f и g от n переменных x₁,x₂,…,x_n можно привести к кан.виду при помощи одного R линейного преобразования переменных, если одна из форм явл. положительно определенной.