Выбор без возвращения

Определение 8. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Представим на примере распределения элементов по ячейкам. В первую располагаем любой из элементов ( способами), вторую ячейку можно заполнить способами, третью  и т.д. Отсюда число способов заполнения (число всех возможных перестановок) равно

(2)

Определение 9. Размещениями называются комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений из различных элементов по элементов равно

(3)

Определение 10. Сочетаниями называются комбинации, составленные из элементов различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число всех возможных сочетаний из различных элементов по элементов равно

₍₄₎

Пусть, например, дано множество . Размещениями из трех элементов этого множества по два являются ; сочетаниями: Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, а размещения отличаются либо самими элементами, либо порядком их следования.

Пример 10: Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?

Решение: Так как порядок выбора не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно Красную гвоздику можно выбрать способами. Выбрать две розовые гвоздики из 4-ех можно способами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить по правилу умножения способами.

Выбор с возвращением

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями. Они могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений с повторениями из элементов по обозначаются и вычисляются по формуле

₍₅₎

Пример 11: Из 3 элементов составить все размещения по два элемента с повторениями.

Решение: Это

Пример 12: Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2,5,6,8 ?

Решение: Все пятизначные числа, составленные из этих цифр отличаются друг от друга либо порядком их следования либо самими цифрами. Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е.

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то это сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из элементов по обозначаются и вычисляются по формуле

₍₆₎

Пример 13: Сколькими способами можно составить букет из пяти цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Решение: Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. Имеем

Пусть в множестве с элементами есть различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент  раз…, -й элемент  раз, причем

Перестановки из элементов данного множества называют перестановками с повторениями из элементов.

Число перестановок с повторениями из элементов обозначается символом

₍₇₎

Пример 14: Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

Решение: Здесь Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно

Пример вычисления вероятностей.

Пример 15: В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными?

Решение: Выбрать 5 шаров из 20 можно способами, т.е. . Определим число случаев, благоприятствующих событию - «среди 5 вынутых шаров 3 будут черными». Число способов выбрать 3 черных шара из 8 равно Каждому такому выбору соответствует соответствует способов выбора 2-х белых шаров из 12 белых в урне. Следовательно, Вероятность