- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
Розглянемо ряд, у якого два будь-яких сусідніх члени мають протилежні знаки. Такий ряд називається знакопочережним. Його можна записати у вигляді
, (7.9)
де .
Знакопочережними, наприклад, є ряди:
;
.
Ознака Лейбніца.
Якщо для знакопочережного ряду (7.9) виконуються умови:
1) ;
2) ,
то цей ряд збіжний, сума його додатня і не перевищує значення першого члена.
Доведемо, що при виконанні умов ознаки Лейбніца для ряду (7.9) існує границя послідовності частинних сум, тобто .
Розглянемо спочатку частинні суми ряду з парним числом членів:
Оскільки кожна з дужок за першою умовою додатня, то послідовність часткових сум зростаюча. Покажемо, що вона обмежена. Для цього запишемо:
.
Очевидно, що . Отже, послідовність частинних сум монотонно зростаюча, обмежена і має границю.
Нехай .
Покажемо, що послідовність частинних сум з непарним числом членів має ту ж границю.
Оскільки і при (за умовою), то , тобто послідовність усіх частинних сум знакопочережного ряду (7.9) має скінченну границю і, отже, ряд збіжний.
Зазначимо, що для суми ряду (7.9) справедливе співвідношення . Для парних частинних сум це показали в доведенні ознаки.
Непарну частинну суму можна записати у вигляді:
,
звідки видно, що .
Зазначимо ще одну властивість знакопочережного ряду, що має велике практичне застосування.
Нехай ряд збіжний і його сума дорівнює , тоді
.
Різниця – залишок ряду, у свою чергу є сумою ряду, і, отже .
Таким чином, заміняючи суму ряду його частинною сумою, одержуємо похибку, абсолютна величина якої менше від абсолютної величини першого відкинутого члена ряду, тобто
. (7.10)
Приклад 7.8. Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язання. Порівняємо модулі сусідніх членів ряду, одержимо
,
тобто перша умова ознаки Лейбніца виконується.
Оскільки , то і друга умова ознаки Лейбніца виконується, отже, даний ряд збіжний.
Приклад 7.9. Скільки членів ряду, що є збіжним
потрібно взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,001?
Розв’язання. Оскільки згідно (7.10)
,
то для забезпечення необхідної точності потрібно при обчисленні суми в першу чергу відкинути той член, абсолютна величина якого менше 0,001.
Обчислюючи члени ряду, послідовно, бачимо, що , тому , тобто необхідно взяти три члени ряду.
6. Знакозмінні числові ряди
Ряди з довільним розподілом знаків їхніх членів називаються знакозмінними.
Будемо записувати такі ряди у вигляді
, (7.11)
вважаючи при цьому що числа , , ... можуть бути як додатніми, так і від'ємними.
Зазначимо, що знакопочережні ряди є окремим випадком знакозмінних рядів.
Розглянемо ряд, складений з модулів членів знакозмінного ряду (7.11)
, (7.12)
усі члени якого додатні.
Теорема 7.2. Знакозмінний ряд (7.11) збіжний, якщо збіжним є ряд, складений з модулів його членів (7.12).
Нехай ряд (7.12) збігається. Запишемо очевидну нерівність
. (7.13)
У нерівності (7.13) величина є загальним членом збіжного ряду , а величина – загальним членом невід’ємного ряду , що також є збіжним на підставі ознаки порівняння.
Але тоді на підставі властивостей рядів, що збігаються, можна стверджувати, що буде збігатися і ряд
.
Зазначимо, що зворотнє твердження невірне. Якщо даний знакозмінний ряд збіжний, то ряд, складений з модулів його членів не обов'язково збіжний, цей ряд може бути і розбіжним.
Усі знакозмінні ряди, що є збіжними можна розділити на дві групи.
До першої групи відносяться такі ряди, що є збіжними, для яких ряди, складені з модулів їхніх членів, також є збіжними. Такі ряди називаються абсолютно збіжними.
До другої групи відносяться знакозмінні ряди, що є збіжними, для яких ряд, складений з модулів їхніх членів, розбіжний. Такі знакозмінні ряди називаються умовно збіжними.
Так, ряд збіжний абсолютно, а ряд збіжний умовно.
Можна показати, що в знакозмінному ряді, що є збіжним, будь-яке угруповання членів ряду, не змінює їхнього порядку, зберігає збіжність ряду і значення його суми.
Для абсолютно збіжних рядів можна довільно переставляти члени ряду. Ряд отриманий при цьому є також абсолютно збіжним і має ту ж суму.
Умовно збіжні ряди такою властивістю не володіють. Переконаємося в цьому на прикладі. Знаємо, що ряд
збіжний умовно. Позначимо його суму і зробимо наступну перестановку його членів: за кожним додатнім членом поставимо два наступні від'ємні члени, одержимо ряд
.
Групуючи його члени, одержимо ряд
або
Перестановкою членів ряду одержали ряд, сума якого в два рази менше ніж сума даного ряду.
Як показав німецький математик Ріман, перестановкою членів умовно збіжного ряду можна одержати ряд, що є збіжним, і має будь-яку наперед задану суму, і навіть розбіжний ряд.