Метод хорд

Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].

2) F(a)F(b)<0

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.

В качестве приближений к корню принимаются значения c₀, c₁, c₂… точек пересечения хорды с осью абсцисс или

Точка c делит отрезок [a,b] на две части. Ту из них, на которой функция знака не меняет, отбрасываем (аналогично методу половинного деления).

В качестве условия окончания счета можно принять условия:

(Минаева)

(Турчак).

Корень уравнения: c_i.

Программа уточнения корней методом хорд:

program met_hord;

var a,b,c,e,x,g: real;

N:integer;

function f(x: real):real;

begin

{записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]}

f:=x*x*x-x+4;

end;

begin

write('Введите левую границу отрезка - a:'); readln(a);

write('Введите правую границу отрезка - b:'); readln(b);

write('Введите требуемую погрешность - e:'); readln(e);

N:=0; c:=a;

repeat N:=N+1; g:=c;

c:=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a));

if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c;

until abs(g-c)<e;

writeln('Приближенное значение корня - Х = ',c);

writeln('Число итераций - N = ',N);

readln

end.

Блок-схема метода хорд:	Результаты выполнения программы:
	Введите левую границу отрезка - a: -2 Введите правую границу отрезка - b: -1 Введите требуемую погрешность - e:.0001 Приближенное значение корня - Х = -1.7963190156E+00 Число итераций - N = 6

Метод касательных

Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.

На k^ой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=c_k и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом достаточно задать начальное приближение c₀, а не указывать отрезок [a,b].

Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x₀ имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y=0, откуда

Таким образом, получим формулу для нахождения последовательности c₁, c₂… точек пересечения касательных с осью абсцисс:

Условие окончания счета:

К орень уравнения: c_i+1.

Программа уточнения корней методом касательных:

program met_kasat;

var c,e,g: real;

N:integer;

function f(x: real):real;

begin

{записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]}

f:=x*x*x-x+4;

end;

function df(x: real):real;

begin {записать, производную функции f в виде df:=[математическое выражение]}

df:=3*x*x-1;

end;

begin

write('Введите начальное приближение - c: ');readln(c);

write('Введите требуемую погрешность - e:'); readln(e);

N:=0;

repeat N:=N+1;

g:=c;

c:=c-f(c)/df(c);

until abs(g-c)<e;

writeln('Приближенное значение корня - Х = ',c);

writeln('Число итераций - N = ',N);

readln

end.

Блок-схема метода касательных:	Результаты выполнения программы:
начало Ввод c,ε n:=0 |g-c|<ε Вывод c, n конец + n:=n+1 g:=c	Введите начальное приближение - c: -2 Введите требуемую погрешность - e:.0001 Приближенное значение корня - Х = -1.7963219033E+00 Число итераций - N = 4