23.2. Сопряженные линейные операторы.

Пусть  : Н^п  Н^п - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = ( x, a).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то

есть f (Н^п)*, и следовательно, f = f_b при некотором b Н^п.

Будем считать, что b = *a, где * : Н^п  Н^п - некоторое отображение. Из определения * получаем, что

( x, a) = (x, b) = (x, *a) или ( x, а) = (х, *a ).

Утверждение. * : Н^п  Н^п – линейный оператор.

Упражнение. Доказать утверждение.

Определение. Линейный оператор *: Н^п  Н^п называется сопряженным к линейному оператору .

Очевидно, ** =  , так как ( х, у) = (х, *у) = (**х, у).

Теорема. Для линейных операторов  и  на Н^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий  = *,  = *):

1. ( x, у) = (х, у)  х, у  Е^п.

2. ( е_i ,е_j)= (е_i , е_j)  i, j  (для некоторого) базиса е в Е^п.

3. ( и_i ,и_j) = (и_i , и_j)  i, j  (для некоторого) ортонорми-

рованного базиса и в Е^п.

4. [ ] ^t =  , или же [ ] = ^-1 ^t , где - матрица Грама для базиса е (доказать, что Г^-1  - см. также п.26.1).

5. [ ] = ^t.

Упражнение. Доказать теорему.

23.3. Эрмитовы линейные операторы.

Определение. Линейный оператор : Н^п  Н^п называется эрмитовым, если * =  , то есть если  х, у  Н^п

( х,у) = (х,  у).

Теорема. Для линейного оператора  на Н^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

условий  = *) :

1. ( x, у) = (х,  у)  х, у  Н^п.

2. ( е_i ,е_j)= (е_i , е_j)  i, j  (для некоторого) базиса е в Н^п.

3. ( и_i ,и_j) = (и_i , и_j)  i, j  (для некоторого) ортонорми-

рованного базиса и в Е^п.

4. [ ]^t =  , где - матрица Грама для базиса е .

5. [ ] ^t = - такие матрицы называются эрмитовыми.

Упражнение. Доказать теорему.

Следствие. Если А – эрмитова матрица, то det A^t= det A= = det =  det A  R.

23.4. Структура эрмитова оператора.

Лемма. Пусть  : Н^п Н^п - эрмитов оператор, Н^п  L –

-инвариантное подпространство. Тогда L^ - -инвариантное подпространство.

Доказательство.  х L, y  L^ ( x, y) = 0 = (x, y)  (L^) L  (L^) L^ .



Как и в теореме из п.22.3 Н^п=L₁L₂…L_п , где все L_i – подпространства размерности 1, -инвариантны и попарно ортогональны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L= <e>, и  : L  L - эрмитов оператор, то  е =  е,  С 

( е,е)= ( е,е)= (е,е)= (е,  е)= (е,  е)= ( е,е)   =   R.

В разложении Н^п = L₁L₂…L_n выберем в каждом L_i единичный вектор и_i . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Н^п. В этом базисе матрица эрмитова оператора  имеет вид: [ ] = diag(₁,,…,_n), где все _s R . Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого эрмитова оператора  : Н^п  Н^п  ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица  имеет вид: [ ] = diag(₁,₂,…,_n), где все _s R. Наоборот, если [ ] = diag(₁,…,_n), где все _s R, то  - эрмитов.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой эрмитовой матрицы А  унитарная матрица

Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ = diag(₁,₂,…,_n), где все _s R .

Определение. Линейный оператор  в евклидовом или унитарном пространстве называется нормальным, если

* = *.

Заметим, что ортогональные и унитарные операторы –

нормальные, так как * = * = id, самосопряженные и эрмитовы операторы – нормальные, так как * =  .

Можно доказать структурную теорему для нормальных операторов, а затем, как частные случаи, получить из неё структурные теоремы, которые мы доказали для ортогональных, самосопряженных, унитарных, эрмитовых операторов.

Лекция 34.