Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x₁, ..., x_m), которые являются непрерывными в т. М₀. Если в этой точке второй дифференциал d²f(M₀) является знакоопределенной квадратичной формой от dx₁, ..., dx_m, то в т. М₀ функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d²f(M₀) отрицательно определена, и локальный минимум, если d²f(M₀) положительно определена), если же d²f(M₀) знакопеременна, то в т. М₀ экстремума нет.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию

u = x² + y² + z² +2x + 2y + 4z.

Находим стационарные точки

Стационарная точка М₀(-1, -1, -2).

Вычисляем второй дифференциал функции в этой точке

d²u = 2(dx)² + 2(dy)² + 2(dz)² ,

матрица квадратичной формы имеет вид:

Квадратичная форма является положительно определенной, поэтому в т. (-1, -1, -2) функция имеет локальный минимум (не трудно проверить, что он является и глобальным).

Замечание. Если второй дифференциал функции f(x₁, ..., x_m) в т. М₀ не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной квадратичной формой (d²f(M₀)0 всюду или d²f(M₀)0 всюду, причем есть ненулевые наборы dx₁, ..., dx_m, в которых d²f(M₀)=0), т.е. является квазизнакоопределенной квадратичной формой, то ничего нельзя сказать о наличии или отсутствии в этой точке локального экстремума, и требуется дополнительное исследование. Это показано на следующих двух примерах.

Пример 6. f(x,y) = x³ + y³.

Стационарная точка (0,0)

- является квазизнакоопределенной квадратичной формой. Экстремума в т. (0,0) нет, т.к. f(x,x)=2x³ меняет знак вдоль прямой у=х при переходе через т. (0,0).

Пример 7. f(x,y) = x² + 2xy + y²

Стационарных точек - целая прямая y=-x

Рассмотрим т. (0,0):

является квазизнакоопределенной квадратичной формой ( =0 при dx=-dy). Заметив, что f(x,y)=(x+y)²  0, мы получаем, что т. (0,0) (не строгий) минимум.

В частном случае двух переменных можно сформировать следующее достаточное условие экстремума.

Теорема. Пусть функция f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (х₀,у₀), которая является стационарной для f(x,y), т.е. в ней

Тогда если в этой точке

1) , то (х₀,у₀) - точка локального минимума,

2) , то (х₀,у₀) - точка локального максимума,

3) , то в т. (х₀,у₀) нет экстремума,

4) , то требуется дополнительное исследование.

Пример 8. Найти экстремум функции z = x² + 2x + y² +4y + 1.

Стационарная точка (-1, -2)

Следовательно, в т. (-1, -2) локальный минимум.

1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.

Определение 1. Функция u=f(x₁, ..., x_m) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M₀) точки М₀, что для всех точек M(x₁, ..., x_m) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство f(M₀)  f(M) (f(M₀)  f(M)).

То, что условный экстремум не совпадает, вообще говоря, с обычным экстремумом функции, видно на следующем примере.

Пример 1. u = x² + y² при условии x+y-1=0

Безусловный экстремум этой функции достигается в точке (0,0) и равен 0.

Условный экстремум ищем при условии x+y-1=0, т.е. для функции

u = x² + y² = x² + (1-x)² = 2x² - 2x + 1

, поэтому в т. локальный минимум.

Следовательно функция u = x² + y² имеет условный минимум в т. ( ; ), который равен .

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

Параметры - называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума записываются в виде системы

из которой находятся , где - координаты точки, в которой возможен условный экстремум (для каждой такой точки получается свой (!) набор параметров ).

Достаточным условием условного экстремума является знакоопределенность второго дифференциала функции L при , вычисленного в точке . При этом требуется знакоопределенность второго дифференциала не для произвольных наборов dx₁,...,dx_m, а для наборов, связанных соотношениями:

(k = 1,2, ..., s).

(Эти соотношения получаются, если взять дифференциалы от уравнений связи).

Пример 2. Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)=xy при наличии связи x²+y² =1.

Функция Лагранжа имеет вид:

L = xy + (x² + y² -1)

Решая эту систему, получим четыре решения:

(+, если х,у разных знаков)

(-, если х,у одного знака).

Рассмотрим, например, точку

Для функция Лагранжа принимает вид:

L(x,y) = xy - (x² + y² -1).

d²L( ; ) = -(dx)² + 21dxdy - (dy)² = -(dx - dy)².

Этот дифференциал является квазизнакоопределенным для произвольных dx и dy. Однако, dx и dy не являются независимыми, и из уравнения связи следует

x² + y² -1 = 0  2xdx + 2ydy = 0, и в т. ( ; ) получаем dx + dy = 0, или dy = -dx.

Подставим это соотношение в d²L( ; ), получим

.

Эта квадратичная форма отрицательно определена, и в т. ( ; ) исходная функция f=xy имеет условный максимум.

Замечание. Для разыскания наибольшего (наименьшего) значения дифференцируемой функции u = f(x₁, ..., x_m) в замкнутой области D, ограниченной гладкой кривой, поступаем следующим образом:

1) находим стационарные точки внутри D, решая систему

2) находим стационарные точки функции Лагранжа для случая, когда уравнением связи является уравнение границы области D;

3) сравниваем значения функции f в полученных точках: наибольшее из них будет наибольшим значением функции в области D; наименьшее - наименьшим значением функции в области D.

В предыдущем примере внутри круга x² + y²  1 функция f(x,y)=xy имеет четыре стационарных точки

.

Вычислив значения функции в этих точках, получим, что наибольшее значение функции в круге равно и достигается в точках (- ;- ), ( ; ), а наименьшее значение равно - .

248