1.10 Определение параметров второй окружности

Рассмотрим последовательность определения координат центра и радиуса окружности касательной к двум сторонам треугольника и вписанной окружности.

Выберем произвольную вершину треугольника (например, А, рис. 7).

Рис. 7. Определение координат центра второй окружности

Центр строящейся окружности лежит на биссектрисе угла АВ. Определим на ней точку Х₁. Зная уравнение биссектрисы вычислим координаты этой точки. Найдем расстояние от точки до стороны треугольника - R₁ - это будет приближением радиуса. Найдем расстояние от центра вписанной окружности до точки Х₁:

Найдем расстояние между точками Х₁ и В

L = LL – Ro

где Ro - радиус вписанной окружности.

Сравним полученное расстояние с приближением R₁. Если модуль их разности меньше заданной точности, считаем точку Х₁ центром окружности. В противном случае, в зависимости от соотношения L и Ro, выбираем другую точку слева или справа от текущей.

1.11 Площадь фигуры

Область между двумя окружностями представляет собой два одинаковых криволинейных треугольника образованных двумя дугами окружностей и отрезком стороны треугольника. Вершины треугольника расположены в точках касания окружностей и окружностей и стороны (рис. 8).

Рис. 8. Область для штриховки

Площадь фигуры состоит из площади треугольника АВС за вычетом площадей сегментов АС и АВ (рис. 9).

Начнем с определения площади сегментов. Прежде чем применить численное интегрирование составляем подинтегральную функцию:

Знак перед корнем в уравнении зависит от положения сегмента относительно центра окружности. Поэтому при применении уравнения необходимо это учитывать, что не всегда возможно. К тому же сегмент может быть расположен так, что часть его лежит ниже центра, а часть – выше. Площадь сегмента окружности зависит только от радиуса окружности и длины хорды. Поэтому повернув сегмент так, чтобы хорда была параллельна оси Х а дуга направлена вверх, мы получим наиболее благоприятный случай для расчета.

Рис. 9. Площадь

После поворота сегмента необходимо скорректировать координаты центра окружности (эта корректировка необходима только при определении площади и на основные построения не распространяется), так, чтобы весь сегмент располагался в I квадранте координатной плоскости. Наиболее очевидными здесь являются следующие координаты:

Xc’ = R и Yc’ = R

Но сегмент «опирается» на прямоугольник (рис. 10). Следовательно, итоговая площадь сегмента будет равна

S_сегм=S_{симпсона} – АBАC

Длина хорды АВ определяется по известным координатам ее концов (в нашей задаче – это пары координат из трех заданных точек).

Для сегмента АВ (см. рисунок 10)

Для сегмента ВС

Для сегмента АС

Высота прямоугольника АС определяется как сумма

АС=Xc+L₁

Границы интервала интегрирования определяются как

A = Xc – 0.5L = R – 0.5L, B = A + L

Алгоритм расчета площади треугольника. Составляем уравнение прямой

y = kx + b

Для каждой пары соседних вершин треугольника составляется уравнение прямой, т.е. рассчитываются коэффициенты k и b:

,

После этого составляется уравнение прямой и определяется площадь под ней. Это производится для всех сторон, составляющих треугольник. После того, как площади под всеми сторонами вычислены, рассчитывается конечная площадь в которую входят все суммы с соответствующими знаками (см. раздел 1.7).

Площадь фигуры равна:

S = 2(S_{треугольника} – S_{дуги АС} – S_{дуги ВС}).