Окончательный вид модели планирования капитальных вложений

Бинарные переменные дают возможность использовать в модели различные логические условия. Так, если некоторые из рассматриваемых проектов (например, 1, 3 и 6) являются альтернативными, модель может быть дополнена следующим условием:

Это условие говорит о том, что из трех бинарных переменных X₁, Х₃ и Х₆ только одна может иметь значение 1.

В случае, если проект 4 опирается на результаты проекта 5, и не может быть выполнен, если пятый проект не выполняется, то модель дополняется выражением:

Как нетрудно заметить, указанное выражение не выполняется только в одном случае - если выбирается 4 проект и не выбирается 5.

Дальнейшее усложнение модели

Дальнейшее усложнение модели. В рассмотренной выше постановке задачи целевая функция выражала требование максимизации прибыли (или минимизации затрат), связанное с выбором определенных видов продукции для производства (или определенных проектов для их финансирования). Однако часто выбор решения о производстве определенного вида продукции помимо связанных с объемом производства затрат требует также независящих от объема производства затрат, которые могут расходоваться

• на покупку или аренду определенного оборудования или транспортных средств;

• на переналадку существующего оборудования для производства указанного вида продукции;

• на разработку и изготовление определенного производственного оборудования, инструмента или приспособлений;

• на содержание дополнительного персонала.

Все эти расходы последуют только в том случае, если определенное решение (например, решение о производстве данного вида продукции) принято.

Рассмотренный ниже пример имеет целью прояснить формулировку и решение задачи учета постоянных расходов, связанных в выбором одной из бинарных переменных.

Допустим, что некоторая компания производит три вида продукции, используя для каждого из них три технологические операции: токарную, шлифовальную и сборочную. Нормы времени на проведение этих операций для одного изделия каждого вида помещены в Табл. 7.20. Здесь же помещены данные по имеющимся в компании производственным мощностям по каждому из трех видов работ.

Известно, что производство и реализация единицы продукции первого вида дает вклад в общую прибыль компании, равный 48 долл., а каждая единица продукции второго и третьего вида - 55 долл. и 50 долл., соответственно.

Таблица 7.20

Нормы времени по видам продукции

Операции	Время на проведение операции					Производ. мощности, час
		Продукция 1, час	Продукция 2, час	Продукция 3, час
Токарная Шлифовальная Сборочная		2 6 5	3 3 6	6 4 2	600 300 400

Производство каждого вида продукции требует значительной переналадки поточной линии, что обходится для первого вида продукции в 1000 долл., для второго вида продукции - в 800 долл. и для третьего вида продукции - в 900 долл. Отдел маркетинга компании полагал, что вся произведенная продукция будет продана. Руководство же компании хочет определить наилучший набор выпуска продукции, который обеспечит ей максимальную прибыль.

В данном случае, несмотря на то, что у нас имеется только три вида продукции, нам потребуется шесть переменных, чтобы промоделировать данную задачу. Определим их следующим образом.

1. X_i - количество продукции вида i, которое должно быть произведено, i=1,2,3.

2. Y_i= 1, если Х_i 0, i=1,2,3;

Y_i= 0, если X_i= 0, i=1,2,3.

Таким образом, мы имеем три обычные целочисленные управляемые переменные X₁, Х₂ и Х₃, выражающие объем производимой продукции по ее видам. При этом каждая X_i имеет соответствующую бинарную переменную Y_i, которая будет равняться 1, если соответствующая X_i будет иметь положительное значение и будет равна 0, если соответствующая X_i будет равна нулю. Дальше мы поясним это более подробно.

Используя введенные переменные построим целевую функцию задачи в следующем виде:

Как нетрудно заметить, первые три слагаемые построенной целевой функции вычисляют величину общей прибыли от производства всех трех видов продукции. Последние три компонента уменьшают общую прибыль на величину затрат, связанных с переналадкой производства для изготовления выбранных видов продукции.

Данная задача требует построения нескольких наборов ограничений на переменные модели. Первый из них связан с ограниченностью производственных мощностей данного предприятия-изготовителя. Производственные мощности по различным видам работ, очевидно, будут связаны с наличием на заводе определенного количества соответствующего оборудования, эффективным временем его работы и обеспеченностью кадрами. В приведенном ниже наборе ограничений по производственным мощностям правые части соответствующих неравенств будут выражать реально имеющийся в распоряжении предприятия фонд времени работы определенной группы оборудования или работников (например, рабочих-сборщиков).

2Х₁ + 3Х₂ + 6Х₃ <= 600  ограничение по токарным операциям

6Х₁ + ЗХ₂ + 4Х₃ <= 300  ограничение по шлифовальным операциям (7.2)

5X₁ + 6X₂ + 2X₃ <= 400  ограничение по сборочным операциям

К этому набору ограничений следует добавить требование неотрицательности объемов производимой продукции:

Х_i > = 0; i = 1, 2, 3.

Второй набор ограничений на переменные Y_i, которые рассматриваются в рамках данной модели как бинарные, будет иметь вид:

Третий набор ограничений, определяющий связь между переменными X_i и Y_i, может иметь следующий вид:

Х_i=М_iY_i ; i=1, 2, 3;

где M_i - верхний предел объема производства продукции i-го вида (X_i).

Параметры М_i могут быть определены, исходя из следующих соображений. Посмотрим, какое максимально возможное число изделий первого вида по токарным операциям сможет выпустить предприятие, если второй и третий вид изделий вообще не будет выпускаться. Для этого положим в ограничении по токарным операциям Х₂=Х₃=0 и определим X₁. Как нетрудно заметить, X₁=600/2=300. Аналогично определим максимально возможную программу выпуска первого изделия по шлифовальным и сборочным операциям. Она составит 300/6=50 и 400/5=80, соответственно. Окончательно максимально возможный объем выпуска первого изделия будет определятся по самой трудоемкой операции и составит 50 единиц. Таким образом можно получить следующие выражения для вычисления параметров Mi:

Заметим, что данный метод применим только в случае, если все коэффициенты в ограничениях по производственным мощностям будут неотрицательными величинами.

Окончательно третий набор ограничений (назовем их ограничениями связи) будет иметь следующий вид:

Перенесем исходные данные модели, содержащиеся в целевой функции (7.1) и ограничениях (7.2-7.4), на текущий лист электронной таблицы (см. Табл. 7.21).

В приведенной модели ячейки B4:D4 зарезервированы для искомых величин объемов производства продукции по их видам X₁,X₂,X₃, а ячейки B14:D14 - для значений бинарных переменных Y₁, Y₂ и Y₃. Коэффициенты целевой функции помещены в ячейках B6:D7. Целевая функция находится в ячейке F7, имея вид следующей формулы:

=СУММПРОИЗВ(В6:D6,В4:D4) - СУММПРОИЗВ(В7:D7,В14:D14).

Таблица 7.21