- •4. Приложение 1.
- •Часть 1. Способы представления комплексных чисел
- •1. Основные понятия
- •2. Алгебраическая форма представления комплексных чисел
- •3. Графическая форма представления комплексных чисел
- •4. Роль мнимой единицы при графическом изображении комплексных
- •5. Тригонометрическая форма представления комплексных чисел
- •6. Показательная форма представления комплексных чисел
- •7. Роль поворотного множителя при графическом изображении комплексных чисел
- •Часть 2. Действия с комплексными числами
- •1. Сложение и вычитание комплексных чисел
- •1.1. Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме
- •1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел в графической форме
- •2.Умножение и деление комплексных чисел
- •2.1. Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме Умножение
- •2.2. Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме
- •2.2. Деление
- •Часть 3. Представление синусоидальных величин в комплексной форме
- •Комплексная форма напряжения
- •2. Комплексная форма сопротивлений и проводимостей
- •3. Комплексная форма закона Ома и 1-го и 2-го законов Кирхгофа
- •4. Комплексная форма мощности цепи переменного тока
7. Роль поворотного множителя при графическом изображении комплексных чисел
Выражение е называется поворотным множителем и обозначает, что
вектор, изображающий комплексное число |А| е , повернут относительно вещественной полуоси «х» на угол α против направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла α соответствует поворот вектора по часовой стрелке.
Показатель степени «j α» в выражении е должен быть отвлеченным числом. Это означает, что угол «α» в выражении «j α» должен быть выражен в радианах. Однако ради большей наглядности допускается запись угла «α» в градусах.
При расчетах электрических цепей встречаются случаи вычислений с поворотным множителем, результаты которых полезно запомнить:
е = cos 0 + j sin0 = 1 + 0 = 1;
е = е = cos (π / 2) + j sin(π / 2) = 0 + j*1 = j;
е = е = cos ( - π / 2 ) + j sin( - π / 2 ) = 0 - j*1 = -j;
е = е = ( е ) = ( j ) = - 1.
Таким образом, в результате умножения комплексного числа на поворотный множитель е положение вектора, изображающего комплексное число, не изменя
ется, во втором случае направление вектора совпадает с направление полуоси «+j»
( т.е. вектор расположен вверх ), в третьем случае вектор расположен вниз, в четвертом случае вектор в результате умножения поворачивается на 180º против часовой стрелке ( при + 180º ) или по часовой ( при - 180º ).
В последнем случае направление поворота не имеет значения, т.к. при повороте как против часовой, так и по часовой стрелке, вектор занимает положение, противо
положное исходному.
В конце объяснения представим одно и тоже число А в разных формах:
в алгебраической А = 3 + j4;
в графической – в виде вектора на рис.2;
в тригонометрической А = 5 ( cos 53º + j sin53º );
в показательной А = 5 е .
Таким образом, из четырех форм записи комплексного числа А только две –
алгебраическая и тригонометрическая, строго соответствуют понятию «комплекс-
ное число», т.е. такое число, которое состоит из нескольких частей.
Следует отметить, что при расчетах электрических цепей символическим методом часто приходится переходить от одной формы представления комплекс-
ного числа к другой, например, от алгебраической к показательной. Для таких переходов применяют простейшие действия над числами, а именно: сложение, вычитание, умножение и деление.
Часть 2. Действия с комплексными числами
1. Сложение и вычитание комплексных чисел
Для сложения и вычитания комплексных величин и чисел используют их алгебра-
ическую и графическую формы представления.
1.1. Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме
При сложении комплексных чисел ( комплексов ) складываются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например,
А + В = ( А' + j А" ) + ( В + j В" ) = ( А' + В' ) + j( А" + В" ) =
= С + jС" = С ( 11 )
При вычитании комплексных чисел ( комплексов ) вычитаются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например,
А - В = ( А' + j А" ) - ( В + j В" ) = ( А' - В' ) + j( А" - В" ) =
= С + jС" = С ( 12 )
Вычитание комплексных чисел можно заменить простейшим действием элементарной алгебры, а именно - сложением уменьшаемого числа с вычитаемым, взятым с обратным знаком:
С = А – В + А + ( - В ),
или
С = ( А' + j А" ) + ( - В – j В" ) = ( А' - В' ) + j( А" - В" ) =
= С + jС" = С ( 13 ).
Пример 5. Найти сумму С чисел А = 3 + j 4 и В = 5 + j 8.
Решение. Сумма С = А + В = 3 + j 4 + 5 + j 8 = 8 + j 12.
Пример 6. Найти сумму С чисел А = 4 + j 6 и В = - 5 + j 8.
Решение. Сумма С = А + В = 4 + j 6 + ( - 5 + j 8 ) = -1+ j14.
Пример 7. Найти разность С чисел А = 80 + j 90 и В = 50 – j 30.
Решение. Разность С = 80 + j 90 – ( 50 – j 30 ) = 80 + j90 – 50 + j 30 =
= 30 + j120.
Пример 8. Найти сумму С чисел А = 10е и В = 6е .
Решение. Выразим комплексные числа в алгебраической форме:
А = 10е = 10 cos 45º + j10sin 45º = 10*0,707 + j10*0,707 = 7,07 + j7,07
В = 6е = 6 cos 30º - j6 sin 30º = 6*0,866 – j6*0,5 = 5,2 – j3.
Сумма С = А + В = 7,07 + j7,07 + (5,2 – j3 ) = 12,27 + j4,07.
Преобразуем число С из алгебраической в показательную форму:
модуль суммы | C | = = 12,9;
тангенс аргумента tg α = C"/ С' = 4,07 / 12,27 = 0,331;
α = arc tg α = arc 0,331 = 18º20';
число С = 12,9е .