1) Коммут. Св-во.

Для любых целых неотриц-х чисел а и b верно рав-во a•b=b•a.

2) Ассоц. Св-во.

Для любых целых неотриц-х чисел а, b и с верно рав-во (a•b)•c=a•(b•c).

(a•b)•c=a•(b•c) т.к. A×(BUC)=(A×B)U(A×C)

3) Дистриб. Св-во.

Для любых целых неотриц-х чисел а, b и с верно рав-во (a+b)•c=a•c+b•c.

(a+b)•c=a•c+b•c т.к. A×(BUC)=(A×B)U(A×C).

Словесные формулир-ки св-в умнож-я.

От перемены мест множит-й произвед-е не изменяется.

Примеры заданий.

На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Ск-ко пуговиц нужно на 3 таких пальто?

В задаче идет речь о 3 мн-вах, в каждом из кот-х 4 эл-та. Требуется узнать число эл-тов в объединении этих трех мн-в.

13. Опред-е деления натур-х чисел через умнож-е. Теоретико-множ. смысл частного натур-х чисел. Условие существ-я частного натур-х чисел. Правило деления суммы на число, его теоретико-множ. интерпретация. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрывающих теоретико-множ. смысл частного.

Частным натур-х чисел а и b назыв-ся такое число с, что a=b•c.

Теоретико-множ. смысл частного

Пусть a=n(A) и А разбито на попарно непересек-ся равномощ-е м-у собой мн-ва, тогда:

1) если b – число эл-тов в кажд. из этих подмн-в, то частным а и b будет назыв. число этих подмн-в.

2) если b – число таких подмн-в, то частным a и b будет назыв. число эл-тов в каждом из этих подмн-в.

Напр.::

1) 12:3

А ООО ООО ООО ООО

12=n(A)

Разбиваем мн-во А на попарно непересек-ся равномощные подмн-ва, каждое из кот-х содержит 3 эл-та.

Таких подмн-в 4, значит, 12:3=4

b=3

2) Пусть 12=n(A) и b=3

////////////

I II III (поочередно распределяем элементы по подмн-вам – 1й-I, 2й-II, 3й-III, 4й-I, 5й-II, 6й-III и т.д.).

Тогда кажд. из этих подмн-в будет содержать по 4 элемента.

n(A₁)=n(A₂)=n(A₃)=4, поэтому 12:3=4

Деление чисел связано с разбиением конечного мн-ва на равночисл-е попарно непересек-ся подмн-ва и с его пом. решаются 2 задачи: отыскание числа эл-тов в каждом подмн-ве разбиения и отыскание числа таких подмн-в.

Усл-е сущест-я частного натур-х чисел.

Теорема 1.

Для того чтобы существ-о частное натур-х чисел a и b нбх., чтобы a≥b.

Теорема 2.

Если частное натур-х чисел существует, то оно единственное.

Невозм-ть деления на 0.

На 0 делить нельзя!!!

Предпол-м, что частное от деления на 0 сущ-т и равно с.

a:0=c

1) a≠0

a:0=c => 0•c=a

0=a

2) a=0

0:0=c => 0=0•c

0 => c – любое число, что противор. условию того, что если частное сущ-ет, то оно единств-е.

Правило деления суммы на число.

Если целые неотриц-е числа a и b делятся на натур-е число с, то их сумма и разность тоже делятся на это натур-е число с.

Для того чтобы сумму чисел а и b разделить на натур-е число с, достат-о разделить на с кажд. слаг-е и получ-ые рез-ты сложить.

(a+b):c=a:c+b:c

Пусть a=n(A) и b=n(B), причем A∩B=Ø. Если мн-ва А и В можно разьить на равночисл. подмн-ва, состоящие из с эл-тов каждое, то и объед-е этих мн-в допускает такое же разбиение. Если при этом мн-во А состоит из a:c подмн-в, в В – из b:c подмн-в, то AUB состоит из a:c+b:c подмн-в. Это значит, что (a+b):c=a:c+b:c.

Примеры заданий.

Было 12 карандашей. Их разложили по 4 в коробки. Ск-ко понадобилось коробок?

В данной задаче рассматр-ся мн-во, сост из 12 карандашей. Это мн-во разбив. на попарно не пересек. равномощные м-у собой подмн-ва. Для того, чтобы ответить на вопрос задачи нужно найти число этих подмн-в, поэтому данная задача решается при пом. действия деления.

14. Мн-во целых неотриц-х чисел. Теоретико-множ. смысл нуля. Опред-е действий с нулем. Невозмож-ть деления на нуль. Опред-е деления с остатком на мн-ве целых неотриц-х чисел, его теоретико-множ. смысл. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрыв-х смысл деления с остатком в случае, когда: а) делимое > делителя; б) делимое < делителя.

Натур-е числа (N) – мн-во N, для эл-тов которого установлено отнош-е «непосредственно следовать за», удовлетвор-ее треб-ям:

1) в мн-ве N сущ-ет эл-т, непосред-но не следующий ни за каким эл-том этого мн-ва – единица (1);

2) для кажд. эл-та a из N сущ-ет единственный эл-т a', непосред-но следует за а;

3) для кажд. эл-та а из N сущ-ет не более одного эл-та, за которым непоред-но следует а;

4) всякое подмн-во M мн-ва N совпадает с N, если обладает св-вами: 1 содержится в M; из того, что а содержится в M, следует, что a' содержится в М.

Присоед-м к мн-ву N натур-ых чисел еще один эл-т, кот. называется нулем. Получ-е мн-во назыв-ся мн-вом целых неотриц-х чисел (Z⁺).

Z {0; ±1; ±2; ±3; …} – мн-во целых чисел

Z⁺ {0; 1; 2; 3; …} – мн-во целых неотриц-х чисел

Теоретико-множ. смысл нуля.

Колич-ое натур-е число а получается в рез-те счета эл-тов конечного мн-ва А. Это же число а м. б. получено и при пересчете эл-тов другого мн-ва, например, В. Мн-ва А и В равномощны, т.к. содержат одинак-е кол-во эл-тов.

Т.о., с теоретико-множ. т. зр.:

Натур-е число – есть общее св-во класса конечных равномощных мн-в.

Нуль – общее св-во пустого мн-ва, кол-во эл-тов в пустом мн-ве.

В математич. действиях с нулем опред-ны след-е рез-ты:

слож-е – если к любому числу прибавить ноль, число останется неизменным;

вычит-е – если из любого числа вычесть ноль, число останется неизменным;

умнож-е – если любое число умножить на ноль, рез-том будет ноль;

деление – делить на ноль запрещено, поскольку рез-т не существует;

ноль разделить на ноль – выраж-е не имеет смысла, т. к. не м. б. определено;

возведение в степень - любое число в степени ноль равн-ся ед-це;

ноль в степени ноль – выраж-е не имеет смысла, т. к. не м. б. определено;

извлеч-е корня - корень любой степени из нуля равен нулю.

На нуль делить нельзя.

Док-во:

Предположим, что частное от деления на 0 сущ-ет и равняется с.

а:0=с

I. Пусть a≠0, тогда если а:0=с => исходя из опред-ия частного 0•c=a => 0=a.

II. Пусть а=0, тогда из того, что 0:0=с => 0=0•с => c – любое число, что противор-т усл-ю того, что если частное сущ-ет, то оно единств-ое.

При делении целых неотриц-х чисел м. б. так, что частное явл-ся целым, неотриц-м числом. Но такое частное сущ-ет не всегда.

Напр.: нельзя разделить 31 на 9. Мы раскладываем 31=9•3+4 и говорим, что разделили число на 9, с остатком 4, а 3 неполное частное.

Разделить целое неотриц-ое число а на целое неотриц-е число b с остатком значит найти такие целые неотриц-ые числа q и r, чтобы вып-лось след-ее усл-е: a=b•q+r, 0≤r<b.

q – неполное частное

r – остаток

Теорема: Любое целое неотриц-е число а м. разделить на натур. число b с остатком, причем всегда; полученная при этом пара чисел q и r принадл-щих мн-ву целых неотриц-х чисел всегда существует и она единственна.

Разделить меньшее число на большее с остатком на мн-ве целых неотриц-х чисел м. всегда, при этом неполное частное = 0_, а остаток = делимому (10:13=0(ост 10)).

Деление нацело – частный случай деления с остатком.

7:5=1(ост.2)

5:7=0(ост.5)

5=7•0+5

5<7

10:2=5(ост.0)

Теоретико-множ. смысл деления с ост.:

Пусть a=n(A) и мн-во А разбив-ся на попарно непересек-ся равномощ. м-у собой подмн-ва (А₁, А₂, А₃,…A_q), каждое из кот-х содержит по b эл-тов, и некот-е мн-во М, кол-во эл-тов кот-го < b.

Тогда q (теоретико-множ. смысл неполного частного) есть число попарно непересек-ся равномощ-х подмн-в (А₁, А₂, А₃,…A_q), кажд. из кот-х содержит по b эл-тов, а r (теоретико-множ. смысл остатка) – число эл-тов в мн-ве М.

Напр.:

13:4=3 (ост.1)

n(A₁)=n(A₂)=n(А₃)=4

n(M)=1

ОООО | ОООО | ОООО | О

A₁ | A₂ | A₃ | M

Примеры заданий из нач/ курса матем-ки, раскрывающих смысл деления с ост/ в случае, когда:

а) делимое > делителя

7:2=3 (ост.1)

15:4=3 (ост.3)

11:3=3 (ост.2)

б) делимое < делителя

15. Натур-е число как рез-т измерения положит-ой скалярной величины. Отнош-е «меньше» на мн-ве таких чисел. Смысл суммы и разности натур-х чисел, получ-ых в рез-те измер-я величин. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрыв-их смысл суммы и разности натур-х чисел – мер величин.

Величина – одно из первонач-х понятий матем-ки.

Под величиной следует понимать особ. св-во некот-х объектов и явл-ий.

Различ-т однород-е и разнород-е величины.

Под однород-ми велич-ми следует понимать те, кот. выражают одинак-е св-ва различ-х объектов и явл-й.

1) Однород-е величины м. сравнивать.

2) Однород-е величины м. складывать. В рез-те слож-я получ-ся величина того же рода.

3) Однород-е величины м. вычитать (из большего меньшее). В рез-те вычит-я получ-ся величина того же рода, кот. определяется так: C=A-B, если А=В+С.

4) Величины м. умножать на положит-е действит-е число. В рез-те получ-ся величина того же рода.

Напр.: площадь тр-ка и площадь квадрата; длина, ширина, расстояние.

Разнород-е величины: площадь квадрата и длина диагонали прямоуг-ка.

Величина, кот. определяется одним численным знач-ем, назыв-ся скалярной величиной.

Если при выбранной ед-це скалярная величина принимает только положит-ые численные знач-я, то ее называют положит-й скалярной величиной.

Положит-ми скалярными велич-ми явл-ся: длинна, площадь, объем, масса, стоимость и кол-во товаров и др.

Под измерением величин следует понимать проц. сравнения измеряемой величины А с др. величиной того же рода Е, кот. приняли за ед-цу величины (единич-ю величину). В рез-те проведенного сравнения находят некот-е действит-ое число, кот. называют мерой измеряемой величины при выбранной ед-це величины (численное знач-ие величины при выбранной ед-це величины).

Обозначение: m_E(A)

A=m_E(A)•E

A – заданная величина.

m – мера величины

Е – единичная величина.

1) A>B => m_E(A)>m_E(B)

A<B => m_E(A)<m_E(B)

A=B => m_E(A)=m_E(B)

2) A=B+C <=> m_E(A)=m_E(B)+m_E(C

3) A=x•B => m_E(A)=x•m_E(B)

x€R⁺

Под натур-ым числом, получе-ым в рез-те измерения величин, следует понимать меру этой величины при выбранной ед-це величины.

Натур-ое число показ-ет, сколько раз единич-й отрезок уклад-тся в измеряемом отрезке, причем это натур-е число единственное.

Для кажд. натур-го числа м. построить отрезок, мера длины кот-го равняется этому натур-му числу при выбранной ед-це длины. В обратную сторону – неверно, т.е. не для всякого отрезка мо. указать такое натур-е число, кот. будет мерой его длины при выбранной ед-це длины.

Отнош-е «меньше» на мн-ве таких чисел.

Для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отнош-й: A<B, A=B, A>B.

Отнош-е «меньше» для однород-х величин транзитивно: если A<B, B<C, то A<C.

A>B => m_E(A)>m_E(B)

A<B => m_E(A)<m_E(B)

A=B => m_E(A)=m_E(B)

Смысл суммы.

Если отрезок х состоит из отрезков y и z и длины отрезков у и z выражаются натур-ми числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Отсюда следует, что сумму натур-х чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин кот-х явл-ся числа а и b.

a+b=m_E(Y)+m_E(Z)=m_E(Y+Z)

Смысл разности.

Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натур-ми числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Отсюда следует, что разность натур-х чисел a и b м. рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z+y=x, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.

a-b=m_E(X)-m_E(Y)=m_E(X-Y)

Примеры заданий

а) сумма

Мама купила 2 кг апельсин и 3 кг яблок. Ск-ко фруктов купила мама?

В этой задачи рассматр-ся 2 величины: масса апельсин и масса яблок; мера одной величины = 2, др. = 3 при выбранной ед-це величины в 1 кг. Для того, чтобы ответить на ? задачи, надо найти меру величины при выбр-ой ед-це величины в 1 кг, кот. представл. собой сумму 2х величин: одна из кот. есть масса апельсин, а др. яблок, поэтому данная задача реш-ся при пом. слож-я.

б) разность

Мама купила 3 кг яблок, из них ее сын съел 1 кг. Ск-ко яблок осталось?

В данной задачи рассматр. 2 величины: масса яблок, кот. купили и кот. съели, причем единиц. измерен. 1 кг. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти численное знач. величин при той же един. велич. в 1 кг, кот. представляет собой разность 2х величин: массы ябл. кот. купили и съели. Потому данная задача реш. при пом. действия вычит-я.