5.1. Общее уравнение плоскости
Положение плоскости P
в пространстве вполне определено, если
известны точка
,
принадлежащая ей, и ненулевой вектор
,
перпендикулярный к этой плоскости.
Постановка задачи: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , и вектор , перпендикулярный к этой плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
.
(5.1)
Равенство (5.1) называется уравнением плоскости с нормальным вектором и проходящей через точку .
Раскрыв скобки в уравнении (5.1), получим
,
(5.2)
где
.
Уравнение (5.2) называется общим уравнением плоскости с нормальным вектором .
Общее уравнение плоскости (5.2) называется
полным, если все его коэффициенты
и
отличны от нуля. Если же хотя бы один из
них равен нулю, то уравнение называется
неполным. Рассмотрим возможные
случаи неполных уравнений:
1) при
уравнение
определяет плоскость, проходящую через
начала координат;
2) при
уравнение
с нормальным вектором
,
перпендикулярным к оси
,
определяет плоскость, параллельную оси
(или содержащую ее, если
);
при
уравнение
с нормальным вектором
,
перпендикулярным к оси
,
определяет плоскость, параллельную оси
(или содержащую ее, если
);
при
уравнение
с нормальным вектором
,
перпендикулярным к оси
,
определяет плоскость, параллельную оси
(или содержащую ее, если
);
3) при
уравнение
с нормальным вектором
параллельным оси
,
определяет плоскость, параллельную
плоскости
и пересекающую ось
в точке
.
Если
,
то уравнение
определяет плоскость
.
при
уравнение
с нормальным вектором
параллельным оси
,
определяет плоскость, параллельную
плоскости
и пересекающую ось
в точке
.
Если
,
то уравнение
определяет плоскость
.
при
уравнение
с нормальным вектором
параллельным оси
,
определяет плоскость, параллельную
плоскости
и пересекающую ось
в точке
.
Если
,
то уравнение
определяет плоскость
.
5.2. Уравнение плоскости,
параллельной двум данным векторам
Постановка задачи: Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
,
и параллельной двум векторам
и
,
неколлинеарных между собой.
.
(5.3)
Равенство (5.3) является уравнением плоскости, параллельной векторам и и проходящей через точку .
5.3. Параметрические уравнения плоскости
Пусть плоскость P
определяется двумя неколлинеарными
векторами
и
и точкой
.
,
или
.
(5.4)
Уравнения (5.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.
5.4. Уравнение плоскости,
проходящей через три точки
Постановка задачи: Составить
уравнение плоскости, проходящей через
три точки
,
и
.
или, используя формулу смешанного произведения в координатной форме, получаем следующее равенство
.
(5.5)
Равенство (5.5) является уравнением плоскости, проходящей через три точки , и .
5.5. Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость на осях , и отсекает отрезки длиной , и соответственно.
Далее
.
Раскрыв определитель, имеем
,
т.е.
или
.
(5.6)
Равенство (5.6) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.
Пример 5.1. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
и ось
.
Решение. Способ 1. Так как
плоскость проходит через ось
,
то в этой плоскости лежит орт
.
В этой плоскости лежит и вектор
.
По формуле (5.1) составляем уравнение плоскости:
.
Способ 2. Так как плоскость
проходит через ось
,
то уравнение плоскости в общем виде
.
Так как точка
принадлежит плоскости, то координаты
этой точки удовлетворяют уравнению
искомой плоскости, т.е.
,
где
.
Таким образом уравнение плоскости
примет вид:
.
Способ 3. Так как плоскость
проходит через ось
,
то на этой плоскости кроме точки
можно взять точки
и
,
принадлежащие оси
.
По формуле (5.5) составляем уравнение плоскости:
.
Способ 4. Так как плоскость проходит через ось , то эта плоскость параллельна векторам и .
По формуле (5.3) составляем уравнение плоскости:
.
Пример 5.2. Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость
.
Решение. Приведем данное уравнение к уравнению в отрезках:
.
Отсюда получаем, что на оси
плоскость отсекает отрезок
,
на оси
отрезок
,
на оси
отрезок
.