§ 2. Определение вероятности

Определение 1. Числовая функция , определенная на пространстве элементарных событий называется вероятностью, если удовлетворяет следующим условиям:

1) , для всех

2) .

Множество с определенной на ней вероятностью называется вероятностным пространством.

Определение 2. Вероятностью события называется число, равное сумме вероятностей всех исходов, принадлежащих событию А:

P(A) = .

§ 3. Классическое определение вероятности

В предыдущих примерах мы определяли вероятности событий, основываясь на интуитивном понятии равновозможности всех мыслимых исходов данного эксперимента. Эту схему можно распространять на случай любого конечного пространства равновозможных элементарных событий.

Действительно, пусть имеется вероятностное пространство , состоящее из n равновозможных исходов :

. Тогда в силу определения вероятности имеем , откуда получаем . Следовательно, вероятность события А, состоящего из m исходов, будет равна

P(A) = . (1)

т.е. вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов, если все исходы равновозможны.

Пример. В двух урнах находятся белые и черные шары, причем в одной из них находится 6 белых и 10 черных, а в другой – 12 белых и 6 черных шаров. Из обеих урн наугад извлекаются по одному шару. Найти вероятности следующих событий:

А={оба шара белые}; В={оба шара черные}; С={один шар белый, а другой черный}.

Пространство элементарных событий , соответствующее данному эксперименту, состоит из всевозможных пар (k, l), где k=1,....16, l=1,…18. Общее число таких пар равно kl = 16∙18=288. Количество пар, благоприятствующих событиям А, В и С равны соответственно: m_A=6∙12 = 72; m_B=10∙6 = 60; m_C = 6∙6+10∙12=156.

Следовательно, согласно формуле (1) получаем: P(A) = ; P(В) = ;

P(С) = .

§ 4. Основные свойства вероятностей

1. Вероятность достоверного события равна 1. .

2. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. .

В самом деле, пусть , .

Так как (или ), то и, следовательно, .

3. . Действительно, т.к. и , то в силу предыдущего свойства , откуда получаем требуемое.

4. Если , то вероятность разности равна разности вероятностей: Действительно, если , то , причем . Следовательно по теореме сложения вероятностей имеем .

5. Для произвольных событий и имеет место формула . Так как и события и не пересекаются, то в силу теоремы сложения вероятностей и, следовательно, .

6. Для любых событий и справедлива формула:

. (1)

Поскольку и события и не пересекаются, то в силу свойств 2 и 5 имеем .

7. Если , то .

Это неравенство непосредственно вытекает из свойства 4.

8. Для любых событий и имеет место неравенство

Данное соотношение сразу же следует из cвойства 6.

Заметим, что формула (1) обобщается на случай суммы любого конечного числа событий. Для простоты мы ограничимся лишь случаем суммы трех событий:

(2).

Аналогичная формула имеет место и для вероятности произведения трех событий:

Пример1. Игральная кость подбрасывается три раза. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании выпадет четное число очков.

Обозначим через , и соответственно события.

={в первом испытании выпадет четное число очков};

={во втором испытании выпадет четное число очков};

={в третьем испытании выпадет четное число очков}.

Требуется найти вероятность события . Воспользуемся формулой (2). Так как

,

,

, то .

Пример 2. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени одним стрелком равна 0,6, другим 0,7 и третьим – 0,8. Какова вероятность поражения мишени тремя стрелками?

Обозначим {i-й стрелок поразил мишень}, i=1, 2, 3.

Согласно формуле (2)