3. Определение операторным методом переходного значения тока через резистор r1 при срабатывании коммутатора к1.

После срабатывания коммутатора К₁ i_L(t) = 0,А и u_C(t) = 0,B т.е. начальные условия цепи – нулевые. При составлении операторной схемы замещения индуктивность L замещаем пассивным элементом Lp , а ёмкость C – пассивным элементом . Таким образом, для исходной цепи (рис.1) операторная схема замещения после срабатывания коммутатора К₁ будет выглядеть следующим образом (рис.1.9).

Рис.1.9. Операторная схема замещения цепи на первом этапе.

Находим изображение напряжения на резисторе R₃.

Согласно закону Ома имеем:

После подстановки нужных величин и преобразования дроби имеем:

Нам нужно перейти к оригиналу:

(1.12)

.

Приравниваем полином знаменателя к нулю и находим корни:

P₁=0 и

P₂=-25,067+198,44j и P₃=-25,067-198,44j

Берем корень P₁ и P₂ и подставляем в уравнение, для решения нам потребуется только удвоенная действительная часть.

После преобразования числителя и знаменателя получаем:

f(t)= 0,023+2e^-25,067t Re( (-0.011+17.132j)*(cos198,44t+jsin198,44t))

f(t)=0,023+ 2e^-25,067t (-0,011cos(198,44t)+17,132sin(198,44t))

U_R3(t) = 0,023+ 2e^{-25,067 t} (-0,011cos(198,44t)+17,132 sin(198,44t)),

U_R3(t) = 0,023+ 34,264e^{-25,067 t} sin(198,44t-0,038))

Сделаем проверку по предельным соотношениям:

4. Сравнение результатов расчётов ur3(t) переходного значения классическим и операторным методами.

Результаты выполненных расчётов в разделах 1.1 и 1.3 сводим в табл. 1.1. Погрешность расчётов оцениваем по формуле:

δ = F_кл-F_оп / F_кл,

где F_кл, F_оп – параметры тока, при расчётах классическим и операторным методами.

Таблица 1.1

Параметры переходного значения тока U_R3(t) .

Метод расчёта Параметр	Классический	Операторный	Погрешность, %
Начальная фаза	-0,038	-0,038	0
Принужденная составляющая	0,023	0,023	0
Показатель затухания	-25,067	-25,067	0
Собственная частота	198,44	198,44	0
Амплитуда	34,264	34,264	0,00

Так как погрешность произведённых расчётов не превышают 5%, то расчёт выполнен верно.

2. Исследование переходного процесса в цепи синусоидального тока

Схема замещения электромагнита приведена на рис.2.1.

Рис.2.1. Схема замещения цепи электромагнита.

При включении обмотки электромагнита на синусоидальное напряжение (сработал коммутатор К₁) переходный ток через обмотку электромагнита

i(t) = i_пр(t) + i_св(t). (2.1)

Принужденную составляющую тока определяем по схеме (рис.2.2) для установившегося режима (t = ∞).

Рис.2.2. Схема замещения цепи электромагнита

для установившегося режима (t = ∞).

По закону Ома в комплексной форме I_mпр = = = e^{(ψ - arctg )}. Переходим к мгновенному значению:

i_пр(t) = I_msin(ωt + φ),

где I_m = = - амплитуда тока;

U_m – амплитуда заданного синусоидального напряжения;

φ = ψ – φ₁ = ψ – arctg .

Таким образом принужденная составляющая тока в общем виде:

i_пр(t) = sin(ωt + φ ), А. (2.2)

Для нахождения выражения свободной составляющей тока i_св(t) составим и решим характеристическое уравнение, используя расчётную схему (рис.2.3).

Рис.2.3. Расчётная схема для составления характеристического

уравнения для цепи электромагнита.

Входное характеристическое сопротивление цепи Z(p) = Lp + R

Решаем характеристическое уравнение Z(p) = 0:

R + Lp = 0,

p = - .

Так как корень характеристического уравнения один, то свободная составляющая тока запишется в виде:

(2.3)

Найдём постоянную интегрирования A. Подставляя выражение (2.2) и (2.3) в (2.1), получим:

i(t) = sin(ωt + φ) + Ae^{- t} (2.4)

В момент времени t = 0 выражение (2.4) примет вид:

i(0) = sin(φ) + A. (2.5)

Поскольку ток через индуктивность, согласно первому закону коммутации, скачком изменяться не может, т.е. i(0) = i(0_-) = i(0₊), а до коммутации ток в цепи не протекал, то i(0) = 0. Подставляем это значение в (2.5), находим A:

0 = sin(φ) + A,

A= - sin(φ).

Полное значение переходного тока через обмотку электромагнита с учётом найденной постоянной интегрирования из (2.4):

i(t) = sin(ωt + φ)- sin(φ)e^{- t}

Подставим заданные параметры цепи (табл.2.2):

,А. (2.6)

Определим постоянную времени электрической цепи электромагнита:

₃=1/ P =L/R=0,108/12=0,009 ,с.

Определим шаг приращения времени:

dt₃=0,1₃=0,1*0,009=0,0009 ,с.

Построим график зависимости переходного тока через обмотку электромагнита (рис.2.4), согласно указаниям [1]. График построен на интервале

3×₃ = 0,027 c.

Рис.2.4. График зависимости переходного тока через обмотку

электромагнита.

Из показаний графика видно, что максимальное значение тока составляет I_max=4,725,А в момент времени t=0,009 ,с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведен анализ переходных процессов в электрических цепях постоянного тока и переменного синусоидального тока. Определены законы изменения напряжения на резисторе R₃ в заданной схеме классическим и операторным методами, а также закон изменения тока через электромагнит.

Установлено, что в цепи постоянного тока после срабатывания первого коммутатора К₁ переходный процесс носит колебательный характер. На втором этапе после срабатывания коммутатора К₂ наблюдается апериодический процесс.

Выражение переходного напряжения на первом этапе, полученного классическим методом:

u_R3(t)= 0,023 +34,264e^{-25,2 t} sin(198,44t-0,038) ,B.

Выражение переходного напряжения на первом этапе, полученного операторным методом:

U_R3(t) = 0,023+ 34,264e^{-25,067 t} sin(198,44t-0,038))

Уравнения получены одинаковые, погрешности в вычислениях не превышали 5%, следовательно расчеты проведены верно.

При анализе цепи переменного тока найдена функция изменения тока через электромагнит при его включении на синусоидальное напряжение. Определен момент времени, при котором ток через обмотку электромагнита достигает максимально значения, найдена при этом его амплитуда.

Построенные графики показывают зависимости переходных напряжений в функции от времени.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе №2 по теоретическим основам электротехники / Сост. В.И. Бойчевский , А.Н. Шпиганович, Липецк: ЛГТУ, 1997. – 16 с.

2. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инжененров. – М.: Наука, 1968. - 720 с.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высш. школа, 1973.-752 с.

4. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке и др.– М.: Энергоатомиздат, 1989. -528 с.

5. Методические указания к оформлению учебно-технической документации / Сост. А.Н. Шпиганович, В.И. Бойчевский, Липецк: ЛГТУ, 1997. - 32 с.