§3. Потенциал двойного слоя
Рассмотрим потенциал двойного слоя непрерывной плотности , заданной на поверхности Ляпунова
. (2)
Потенциал двойного слоя имеет везде вне производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласса. Покажем, что потенциал двойного слоя стремится к нулю на бесконечности. Возьмем начало координат внутри области , ограниченный поверхностью . Тогда
или
.
Обозначим через наибольшее расстояние точек поверхности от начала координат. Тогда
.
Будем считать, что точка настолько удалена от начала координат, что т.е. , тогда или . Далее обозначим через угол образованный векторами и , где внешняя нормаль к поверхности в точке . Тогда формулу (2) можно представить так
.
Теперь
,
где
.
Следовательно, потенциал двойного слоя стремится к нулю на бесконечности как .
Далее мы приводем свойства потенциала двойного слоя не остнанавливаясь на их доказательстве.
Пусть теперь точка лежит на поверхности . Тогда обращается в нуль при совпадении точек и и интеграл (2) является несобственным. Можно показать что он сходится. Таким образом, потенциал двойного слоя (2) определен во всем пространстве.
Если точка лежит на поверхности , то значение интеграла (2) в этой точке называют прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть теперь точка находится вне поверхности и пусть точка приближается к точке . Если при этом приближении оказывается, что потенциал двойного слоя стремится к некоторому конечному пределу, то мы будем говорить, что потенциал двойного слоя принимает в точке предельное значение. Предельные и прямые значения потенциала двойного слоя, вообще говоря, не совпадают. Оказывается, что предельные значения потенциала двойного слоя , вообще говоря, различны в зависимости от того, извне или инзутри стремится точка к поверхности , и эти предельные значения не совпадают с прямыми значениями, а именно справедливо утверждение:
Теорема 2. Потенциал двойного слоя имеет пределы при стремлении точки к точке поверхности извне или изнутри. Если предел значений извне обозначить через , а предел изнути – через , то имеют место формулы
,
.
Итак, потенциал двойного слоя есть разрывная функция, кото-рая претерпевает разрыв непрерывности при переходе через поверхность .
§4. Потенциал простого слоя
Рассмотрим потенциал простого слоя непрерывной плотности заданной на поверхности Ляпунова :
. (3)
Во всех точках пространства, не принадлежащих поверхности , потенциал простого слоя имеет производные любого порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же как в §3, можно показать, что потенциал простого слоя стремится к нулю на бесконечности, как , где .
Можно доказать, что потенциал простого слоя с непрерывной плотностью есть функция, непрерывная во всем пространстве.
Рассмотрим нормальную производную потенциала простого слоя. Выберем произвольную точку на поверхности и обозначим через направление внешней нормали в этой точке. Производная по направлению в точке не лежащей на поверхности, будет
. (4)
Оказывается, что интеграл (4) сохраняет смысл также в том случае, если точка совпадет с точкой на поверхности, и является непрерывной функцией точки на этой поверхности.
Обозначим через
и
соответственно предельные значения нормальной производной при приближении точки к точке по нормали изнутри и извне . Имеет место предложение:
Теорема 3. При непрерывной функции справедливы формулы:
,
(5)
.
Из формулы (5) непосредственно следует, что величина скачка нормальной производной потенциала простого слоя равна
.
Лекция 24. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным
уравнениям.