- •Первообразная и определенный интеграл
- •Понятие определенного интеграла.
- •Формула ньютона-лейбница.
- •Общая схема применения определенного интеграла.
- •Применение интеграла.
- •Нахождение объемов тел по площади поперечных сечений.
- •Нахождение площадей в полярных ск
- •Абсолютная сходимость несобственных интегралов
- •Двойной интеграл.
- •Вычисление криволинейного интеграла в декартовой с.К.
- •Криволинейные координаты на плоскости.
- •Нахождение двойного интеграла в криволинейных координатах.
- •Интеграл пуассона.
- •Интеграл по площади поверхности.
- •Тройной интеграл
- •Вычисление тройного интеграла.
Инт –
проц нах ф-ции по её произв. Ф-ция, найд
в рез-те инт – первообр по отн к задан
произв. Если f(x)
– зад пр-я, а F(x)
– её первообр, то f(x)=F’(x).
Очев, что если F(x)
явл перв по отн к f(x),
то всяк ф-ция вида F(x)+C
(C=const)
тоже будет первообр. Покажем, что справ
и обр утв: люб 2 первообр мог отл только
на конст. Пусть f(x)
имеет 2 первообр: F(x)
и F1(x),
тогда (F1(x)-F(x))’=f(x)-f(x)=0
при всех рассм x.
Если f’(x)=0,
то в силу ф-лы Лагранжа ф-ция пост
(F1(x)-f(x)=C).
φ(x2)-φ(x1)=φ’(C)(x2-x1)=0,
φ’(C)=0.
Значит для любых двух знач для наш ф-ции
φ(х1)=φ(х2). Выв: если f(x)
имеет хотя бы 1 первообр, то она имеет
целое сем-во первообр, отл др от др
только на конст. Это сем первообр наз
«неопр инт от f(x)».
Неопр инт принято обозн SS(f(x)dx)
(иногда SS(f(x)),
но тогда SS(x^2+y^2)^0.5-неясно).
Если ф-ция f(x)
непрер, то её неопр инт сущ – дост усл.
Если F(x)
перв к f(x),
то можно напис: SS(f(x)dx)=F(x)+C,
где С=const.
Нетрудно пров, что справ след рав-во:
SS(λ1f1(x)+λ2f2(x))dx=λ1SS(f1(x)dx)+λ2SS(f2(x)dx)
– (это не рав-во двух ф-ций, это сем-во
первообр)
Таблица
простых интегралов:
SS(v^mdv)=(v^(m+1))/(m+1)+C
(m<>1)
1a)
SS(dv/v^2)=-1/v+C
1б)
SS(dv/v^0.5)=2v^0.5+C
SS(dv/v)=ln|v|+C
SS(a^vdv)=(a^v)/ln(a)+C
(a<>1)
3a)
SS(e^vdv)=e^v+C
SS(cos(v)dv)=sinv+C
SS(sin(v)dv)=-cosv+C
SS(dv/(cosv)^2)=tgv+C
SS(dv/(sinx)^2)=-ctgv+C
SS(dv/(a^2-v^2)^0.5)=arcsin(v/a)+C=-arccos(v/a)+C
SS(dv/(v^2+α))=ln(v+(v^2+α)^0.5)+C
SS(dv/(a^2+v^2))=1/a*arctg(v/a)+C=-1/a*arcctg(v/a)+C
SS(dv/(v^2-a^2))=1/(2a)*ln|(v-a)/(v+a)|+C.
v- диффер-емая
ф-ция
от
х.
СПОСОБЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Инт-е
разл-ем на слаг:
Подынт
выр-е раскл на слаг, а затем инт-ся кажд
слаг в отд.
Инт-е
по частям. Если u(x)
и v(x)
– дифф-емые ф-ции, то d(u(x)*v(x))=u*dv+v*du.
SS(d(u(x)*v(x)))=SS(u*dv)+SS(v*du).
uv=SS(u*dv)+SS(v*du). SS(u*dv)=uv-SS(v*du).
Замена
арг неопред инт. Т:
Если SS(f(x)dx)=F(x)+C,
то SS(f(φ(t))*φ’(t)dt)=F(φ(t))+C.
Док-во:
Если F’(x)=f(x),
то (F(φ(t))’=
f(φ(t)*φ’(t).
Эта Т дает возм вместо 1 инт нах второй,
а затем в получ выр-ии вместо φ(t)
писать x
и наоб.
!!!Не
всяк элем ф-ция имеет элем первообр-ю.
Не всегда инт от элем ф-ции выр-ся через
элем ф-цию.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ
Рассм
SS((sinx)^m*(cosx)^n)dx,
m
и n
э Z,
m
и n
>0. Инт такого вида всегда выр-ся чз
элем ф-ции. 1)
Пусть m=2k+1,
тогда:
SS((sinx)^(2k+1)*(cosx)^(n)*dx=SS((sinx)^(2k)*(cosx)^(n)*sinx*dx=-SS(1-cosx^2)^k*(cosx)^n*d(cosx).
Положим cosx=t
=>инт от многочл и т.д. 2)
Предп, что m=2k,
n=2l.
SS((sinx)^2k*(cosx)^2l*dx)=SS(((1-cos2x)/2)^k*((1+cos2x)/2)^l*dx)=
разобъем на слаг. Там где степ нечер –
элем, где чет – опять и т.д.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Будем
рассм инт такого вида: SS(Qm(x)/Pn(x))dx.
Если эта др неправ, то её можно разл на
2 части: многочлен и правильн дробь. Инт
от люб многочл выр-ся через элем ф-ции
(многочл в степ на 1 больше). Выясн как
инт прав рац др, для этого вспом, что
всяк прав рац дробь можно разл на прост
дроби вида: A/(x-a)^k
или (B(x+α)+C)/((x+α)^2+β^2)^k.
Покаж, что SS
от люб из так дробей выр-ся чз элем
ф-ции. Рассм все случ: 1)
SS(Adx/(x-a))=Aln|x-a|+C
2)
k>1
SS(Adx/(x-a)^k)=A(x-a)^(-k+1)/(1-k)+C
3)
k=1
SS((B(x+
α)+C)dx/((x+α)^2+β^2)=…=(B/2)ln((x+α)^2+β^2)+(C/β)arctg((x+α)/β)+C1
4)
k>1
SS(B(x+α)+C)dx/((x+α)^2+β^2)^k=…(зам
x+α=βtgt,
dx=βdt/cost^2)=>получен
инт выр-ся чз Эл ф-ции=> весь исх инт
выр-ся чз Эл ф-ции=> Иит от люб прав
дроби берется.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Ф-ЦИЙ, РАЦИОНАЛЬНО ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ e^x.
Будем
SS(R(e^x))dx,
где R(e^x)
– рац дробь, её арг – e^x.
Положим e^x=t
=> x=lnt
=> dx=dt/t,
но тогда SS(R(t)dt/t)
и инт берется.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Ф-ЦИЙ, РАЦИОНАЛЬНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ SIN
И COS.
Пусть
R(sinx,cosx)
– рац дробь с арг sinx
и cosx,
тогда SS(R(sinx,cosx))dx
выр-ся через Эл ф-ции, т.е. берется.
T=tg(x/2),
тогда sinx=(2tg(x/2))/(1+(tg(x/2))^2)=2t/(1+t^2),
cosx=(1-t^2)/(1+t^2),
x=2arctgt,
dx=2dt/(1+t^2)
=> под инт стоит рац дробь => она выр
чз Эл ф-ции => исх инт тоже выр чз Эл
ф-ции.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Ф-ЦИЙ, ВИДА R(ax+b)^(1/m)
(типа корень степени m).
SS(R(ax+b)^(1/m))dx
всегда выр чз элем ф-ции. Полож
t=(ax+b)^(1/m),
тогда dx=(m*t^(m-1)dt)/a.
Все получится, как и выше, по тем же
причинам.
ИНТЕГРАЛ
ОТ R(x,(ax^2+bx+c)^0.5)
– ф-ция, котор явл рац дробью от x
и (…)^0.5.
SS
R(x,(ax^2+bx+c)^0.5)dx
всегда выр-ся чз элем ф-ции, если вход
в него корень сущ. |а| можно за корень,
тогда (+-x^2-b1x+c1)^0.5.
если в получ корне выдел полн квадр, то
кор примет вид: (+-(x+α)^2+-β^2)^0.5.
а) (-(x+α)^2-β^2)^0.5
– кор не сущ, не рассм б) ((x+α)^2+β^2)^0.5
=* x+α=βtgt
*=(β^2(tgt^2-1))^0.5=β/cost.
Dx=βdt/(cost)^2
=> исх инт превр в инт от ф-ции рац завис
от sint
и cost,
а такой выр-ся чз элем. Заметим, что
можно было x+α=βsht.
В этом случае ((x+α)^2+β^2)^0.5=βcht,
dt=βcht.
в) (-(x+α)^2+β^2)^0.5
= βcost.
x+α=βsint
г) ((x+α)^2-β^2)^0.5=βctgt,
т.к. x+α=β/sint.
Dx=(-β/(sint)^2)costdt.
Пусть
на [a,b]
задана f.
Разоб этот пром на n
част какими-н (.)(.): a=x0<x1<x2<xn=b
(изобрази). Затем найд длины этих частей:
∆x1=x1-x0,
∆x2=x2-x1,…,
∆xn=xn-x(n-1).
В кажд из пром возьм по (.). Обозначим их
ζ1,ζ2,…,ζn.
Затем сост такие пр-я: знач ф-ции умн на
длину: f(ζ1)*∆x1,
f(ζ2)*∆x2,…,f(ζn)*∆xn.
Z<k=1><n>(f(ζn)*∆xk)
– такая сумм наз «инт
сумм»,
или «сумм
Римана».
Наиб из длин ∆xk
мы будем наз «рангом дробл пром». Обозн
чз λ, тогда очев, что при λ->0 число пром
будет неогр расти, а их длины -> 0. Предел
инт суммы при ранге дробл –> 0 наз «инт
от ф-ции по пром [a,b]»
или «опр инт от f
по [a,b]».
Обозн
SS<a><b>=SS<a><b>(f(x)dx); SS<a><b>(f)=
Z<k=1><n>(f(ζn)*∆xk).
Для
выр-я такого рода, как инт Z
понятие пред надо ввод так: число J
наз пред инт сумм Z<k=1><n>(f(ζk)*∆xk)
при λ->0, если для люб ε>0 сущ такое
δ>0, что для всех инт сумм, у котор λ<δ
будет вып нер-во: |Z<i=1><n>(f(ζk)*∆xn-J)|<ε.
Опр инт – это число, а неопр инт – сем-во
ф-ций. Добавление:
1)
SS<b><a>(f)=-SS<a><b>(f), 2)
SS<a><b>(f)=0. Есть
верх пред, есть нижн пред и есть переменн
инт-я (dx).
Знач опред инт завис от пром [a,b],
от хар-ра f
и не завис от назв переем интегр. Типа
такая фиговина: SS<a><b>(f(x)dx)=SS<a><b>(f(t)dt).
Не всяк пред сущ=> не у всяк ф-ции сущ
опред инт. Ф-ция наз кусочно-непрер
на [a,b],
если этот пром можно разб на конечное
число пром, в кажд из котор ф-ция непр.
При этом, ф-ция может иметь разрывы
только 1-го рода (устр). Т1:
Если ф-ция f
кусочно-непр на замк [a,b],
то инт SS<a><b>(f)
сущ. Т2:
Если ф-ция f
монотонна на [a,b],
то SS<a><b>(f)
сущ. Св-ва
опр инт:
1)
SS<a><b>(C1f1+C2f2)=C1SS<a><b>(f1)+C2SS<a><b>(f2)
если стоящ справа инт сущ-ют. («Св-во
линейности»).
Док-во:
возьм ф-цию C1f1(x)+C2f2(x)
и сост для нее сумм Римана. Она им вид:
Z<k=1><n>(
C1f1(ζn)+C2f2(ζn))∆xk.
Эту Сум можно преобр: С1 Z<k=1><n>
(f1(ζn)∆xk)
+ С2Z<k=1><n>
(f2(ζn)∆xk).
При λ-> 0, перех к пределу, мы получ:
SS<a><b>(C1f1+C2f2)=
C1SS<a><b>(f1)+C2SS<a><b>(f2).
Пред прав части сущ => сущ пред левой.
2)
SS<a><b>(f)=SS<a><c>(f)+SS<c><b>(f)
(a<=c<=b).
Поск SS
сущ, постольку пред суммы Римана не
завис от спос дробл пром [a,b],
поэт мы будем рассм такие дробл-я пром,
в котор (.)С явл одной из (.)(.) деления,
поэт всяк сумму Римана можем разб на 2
части: Z<k=1><n>(
f(ζk)*∆xk)=Z<k=1><m>(
f(ζk)*∆xk)+
Z<k=1+m><n>(
f(ζk)*∆xk).
В этом
рав-ве
перейд к пред при λ-> 0, получим :
SS<a><b>=SS<a><c>+SS<c><b>
- («аддитивность»).
Оно ост справ и в том случ, если c
не Э [a,b],
но если SS
сущ. 3)
Если f>=0,
а a<=b,
то SS<a><b>>=0.
док-во:
постр сумму Римана. Из усл очев, что
Z<k=1><n>(f(ζk)∆xk)>=0,
тогда lim
Z<k=1><n>(f(ζk)∆xk)>=0,
а это знач, что SS<a><b>>=0.
4)
Если
f1<=f2 и
a<=b, то
SS<a><b>(f1)<=SS<a><b>(f2). Док-во:
очевидно, что f2-f1>=0.
В соотв с предыд св-вом SS<a><b>(f2-f1)>=0
=> SS<a><b>(f1)<=SS<a><b>(f2).
Чем больше ф-ция, больше SS
(сумма её знач). 5)
Если m<=f(x)<=M
и a<=b,
то m(b-a)<=SS<a><b>(f)<=M(b-a).
док-во:
Напиш инт сумму Z<k=1><n>(
f(ζk)*∆xk)
<= Z<k=1><n>(
M*∆xk)
= M*Z<k=1><n>(∆xk)=M(b-a).
Люб инт сумм удовл нер-ву: Z<k=1><n>(
f(ζk)*∆xk)
<= M(b-a).
Перед к пред при λ->0 SS<a><b>(f)
<= M(b-a).
2-я часть нер-ва доказ так-же. 6)
Теорема
о среднем.
Если ф-ция f
непр на [a,b],
то внутри пром найд такая (.)С, в которой
будет вып рав-во SS<a><b>f=(f(C)(b-a)).
Док-во: т.к. f
непр на [a,b],
то в силу т.Вейерштрасса, она приним на
этом пром свое наим и наиб знач. Пусть
m*
- наим, М* - наиб зн ф-ции, т.к. m*<=f(x)<=M*,
то, в соотв с 5! можем напис:
m*(b-a)<=f(x)<=M*(b-a)
или m*<=(1/(b-a))SS<a><b>(f)<=M*.
По т.Коши, перех от 1-го своего знач к
др, непр ф-ция прин все промеж знач, это
знач, что на [a,b]
найд такая (.)С, в которой будет вып
рав-во f(c)
= (1/(b-a)
найд такая (.)С от 1-го своего знач к др,
непр ф-ция прин все промеж знач, это
знач, что на
Пусть
f
непрер на [a,b],
тогда для люб х из этого пром будет сущ
инт SS<a><x>(f),
очев, что этот SS
явл ф-цией от верхнего предела. Для
определ-сти: Ф(х)=SS<a><x>(f).
Теор
Барроу:
если f(x)
непрер, то при всех х из [a,b]
сущ произв Ф’(x).
Причем Ф’(x)=f(x)
или E
(SS<a><x>(f))’=f(x).
Док-во:
возьмем x,
x+∆x,
тогда Ф(x+∆x)-Ф(х)=
SS<a><x+∆x>(f)
- SS<a><x>(f)
= SS<a><x>(f)+SS<x><x+∆x>-SS<a><x>(f)=
SS<x><x+∆x>(f).
В силу т. О среднем SS<x><x+∆x>
= f(C)∆x,
где C
Э (x,
x+∆x).
Отсюда: (Ф(x+∆x)-Ф(x))/∆x
= f(c).
Если ∆x->
0, то C->x
=> f(C)
-> f(x)
(из-за непрер-сти). Переходя к пределу
при ∆x
-> 0 мы получим: Ф’(x)=f(x),
причем пред сущ, т.к. есть пред и у п.ч.
т.д. Барроу – уч. Ньютона. Перейд к выв
ф-лы Ньют-Лейбн.
Если f
непрер на [a,b],
то по т. Барроу (SS<a><x>(f))’=f(x),
это означ, что SS<a><x>(f)
явл первообр по отн к f(x).
Если есть 1 перв => их беск много. Предп,
что F(x)
– какая-н первообр от f(x),
тогда SS<a><x>(f)=F(x)+C.
Подст x=a
в это рав-во: 0=F(x)+C,
C=-F(a).
SS<a><x>(f)=F(x)-F(a).
Опред
инт = приращению первообр.
Это рав-во запис так: SS<a><b>(f)
= F(b)-F(a)
= F(x)|<a><b>.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.
U(x),
v(x)
имеют на [a,b]
непрерывные произв-е. d(uv)=udv+vdu.
SS<a><b>(d(uv))
= SS<a><b>(vdu)+SS<a><b>(udv). Uv |<a><b>
= SS<a><b>(vdu)+SS<a><b>(udv). SS<a><b>(udv)
= uv|<a><b>-SS<a><b>(vdu).
ЗАМЕНА
АРГУМЕНТА В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.
Пусть
на [α,β]
зад x=φ(t),
котор отобр этот пром в пром [a,b],
при этом φ(α) = a,
φ(β)=b.
Будем счит, что φ имеет непр произв,
тогда SS<a><b>(f(x)dx)=SS<α><β>(f(φ(t))*φ’(t)dt).
Если f(x)
имеет первообр F(x),
то f(φ(t))φ’(t)
имеет первообр F(φ(t)).
В таком случае SS<a><b>(f(x)dx)
= F(b)-F(a).
SS<a><b>(f(φ(t))*φ’(t))dt
= F(φ(β))-F(φ(α))
= F(b) – F(a). Применение
интеграла: 1)
Нах площ в дек корд. Пусть на [a,b]
задана неотриц непрер ф-ция y=f(x).
Постр гр-к этой ф-ции и найд S
фигуры, огр этим гр-ком и ОХ и двумя перп
(x=a,
x=b).
Для реш зад разоб [a,b]
на n
частей (.)(.)амии. (нарисуй вышеизложенное).
a=x0<x1<x2<…<xn=b.
Через все (.)(.) делен пров отр прям || oy
до Перес с граф. Тогда кривол трап разоб
на полоски. Возьм в 1-й полоске (.)ζ1, и
замен эту полоску прямоуг с ост Δх1 и
высотой f(ζ1).
Sпрям=f(ζ1)*
Δх1, так же со всеми ост полосками,
сложим. Z<k=1><n>(f(ζk)*Δxk).
Введем ранг дробл λ – длина пром. Sкр.тр.
наз пред постр суммы при λ-> 0.
S=lim<λ->0>Z<k=1><n>(f(ζk)*Δxk).
С др стор – предел Z
– опред инт от f
на [a,b].
Sкр.тр.
= SS<a><b>(f)
= SS<a><b>(ydx).
Если на [a,b]
f1(x)
не превосх f2(x),
то Sфиг.
= SS<a><b>(f2(x)-f1(x))dx.
Пр1.
найд площ пар сегм с осн а и выс h.
y=αx^2+βx+γ.
β=0. y=
αx^2+γ.
X=0
y=h=γ.
При y=0
αa^2/4+h=0,
α=-4h/(a^2).
Y=-4h*x^2/(a^2)+h=h(1-4x^2/(a^2)).
Sпар
= SS<-a/2><a/2>(h(1-4x^2/(a^2)))dx =
2h(a/2-4x^3/(3a^2))|<0><a/2> = 2ah/3. Пр2:
Найд
S фиг
огр
элл.
x^2/a^2+y^2/b^2=1 => y=((1-x^2/a^2)b^2)^0.5 = (b/a)(a^2-x^2)^0.5.
Sэл
= 4*SS<0><a>(ydx)=(4b/a)SS<0><a>(a^2-x^2)^0.5dx.
x=asint, dx=acostdt.
S=(4b/a)SS<0><π/2>((a^2-a^2(sint)^2)^0.5*acostdt) =
4abSS<0><π/2>(cost^2)dt=πab. Пр3:
S фиг
огр
1 арк
циклоиды.
X=a(t-sint), y=a(1-cost), t Э
[0, 2pi]. S=SS<0><2pi*a>(ydx)=3pi*a^2.
Пусть
им некот пром [a,b].
Если на этом пром и его частичн пром
задана ф-ция Ф, завис от промежутков,
то мы эту ф-цию будем обозн Ф([α,β]) и
называть «функционал».
Функционалом
Ф наз «аддитивным», если для него вып
усл: Ф([α,β])=Ф([α,γ])+Ф([γ,β]). Будем гов, что
ф-л имеет плотн φ, если Ф([α,α+Δα])
= φ(α)Δα+0(Δα)
при Δα
-> 0.Заметим, что если ф-л имеет плотн,
то Ф([α, α]) =0. Т:
Общ схема прим интегр.
Пусть на [a,b]
задан ф-л Ф, если этот ф-л аддитивен и
имеет непр плотн φ, то справ рав-во:
Ф([α,β])= SS<a><b>(φ(x)dx).
Возьмем произвольн х из [a,b]
и рассм такую вел Ф([a,x]).
Эта велич явл ф-цией от х. Рассм велич
Ф([a,
x+Δx])-
Ф([a,x])
= * разность Ф - это Δx*
= φ(x)+0(Δx)/Δx.
Δx
-> 0 => 0(Δx)/
Δx=0.
Ф’([a,x])
= φ(х). Это знач, что Ф([a,x])
явл первообр по отн к φ(x).
С др стор SS<a><x>(φ)
тоже явл первообр для Ф([a,x])
(по т. Барроу), значит Ф([a,x])=SS<a><x>(φ)+
C.
Найдем С. Положим х=а, получим: 0=0+C
=> C=0.
Значит верно Ф([a,x])
= SS<a><x>(φ).
В частн при х=b:
Ф([a,b])
= SS<a><b>(φ).
Непрер-сть
плотности обесп
сущ
интеграла. Смысл:
если хотим велич описать инт-ом, надо
убед, что вел аддитивна и имеет плотн,
напис dФ
= φ(x)dx
и взять инт от обеих частей.
1)
Нахожд длин линий. 1) пусть на [a,b]
задана y=f(x).
Постр гр-к этой ф-ции. (оси, загогулина
с провалом посередине, точки а, b,
х, х+∆х). Найдем длину постр линии
(считая, что сущ непрер пр-я f’(x)).
Для этого заметим: длина люб части линии
завис от пром, на котором она лежит,
т.е. длина – ф-ция от пром. Длина облад
св-вом аддитивности. Возьмем малый пром
и найдем длину линии над этим пром: ∆l
= (dx^2+
dy^2)^0.5
+ 0(dx).
Заменим этот отр отр-ком кас. ∆l
= (1 +y’^2)^0.5*dx+0(dx)
знач длина имеет плотн = (1 +y’^2)^0.5*dx.
(1
+y’^2)^0.5 = (1 +f’(x)^2)^0.5. l = SS<a><b>(1+(f’(x))^2)^0.5*dx.
l = SS<a><b>(1+y’^2)^0.5*dx. Т.к.
пр-я непр, то этот инт сущ. Пр1:
Найд длину линии y=ln(cosx)
0<=x<=pi/4.
y’
= -tgx.
l
= SS<0><pi/4>(1+(tgx)^2)^0.5*dx
= ln|tg(3pi/8)|+C.
Предп
теперь, что ф-ция задана пар-кими ур-ями.
{x=φ(t),
y=ψ(t)},
t
Э [α,β].
Будем счит, что φ и ψ имеют непрер пр-е,
тогда ∆l
= (dx^2+dy^2)^0.5+0(dx).
∆l=(x.^2+y.^2)^0.5*dt+0(dt),
l=SS<α><β>(x.^2+y.^2)^0.5*dt,
l=SS<α><β>
(φ.(t)^2+ψ.(t)^2)^0.5*dt.
Пр2:
Найд дл 1-й арки циклоиды. X=a(t-sint),
y=a(1-cost), t Э
[0,2pi]. l = SS…=8a. Пр3:
Найти
длину
Элл
с
полуосями
a и
b. {x=accost, y=bsint}, t Э
[0,2pi], l =
4SS<0><pi/2>(a^2*(sint)^2+b^2*(cost)^2)^0.5dt=4aSS<0><pi/2>(1+(b^2-a^2)*(cost)^2/a^2)^0.5*dt
=* c/a=ε *=4aSS<0><pi/2>(1-ε^2*(cost)^2)^0.5*dt. Если
0<ε<1,
то этот инт не выр-ся чз эл ф-ции. =4a*E(ε)
– полный элиптич инт 2-го рода. Если
ε=0, то a=b
и мы получ: lокр=4aSS<0><pi/2>(dt)=2pia.
Если линия расп в пр-ве, то {x=φ(t),
y=ψ(t),
z=ω(t)},
t
Э [α,β],
то аналогично мы получ
l=SS(x.^2+y.^2+z.^2)^0.5*dt
– т. Пиф для пр-ва.
В пр-ве
имеется ОХ , имеется тело, которое огр
парой плоскостей х=а и х=b.
Возбм х из [a,b]
и провед перп сеч тела, прох чз (.)х и ОХ.
Будем счит, что при кажд х нам изв Sсеч=
S(x).
Постар найт V
тела. Объ – адд ф-ция, взят от промеж,
леж на ОХ. Рассм малую часть V,
закл мд двумя сечениями, провед а (.)х и
(.)х+dx.
Нетр видеть, что гл часть V=dV=S(x)dx,
поэт Vвсего
тела = SS<a><b>(S(x)dx).
Примеры:
Найд
V
тела, огр трехосн
эллипсоидом.
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
– Ур-е пов. Перес это тело, у котор
z=const
и –c<=z<=c,
тогда гран сеч: x^2/a^2+y^2/b^2=
1-z^2/c^2.
x^2/(a^2(1-z^2/c^2))+y^2/(b^2(1-z^2/c^2))
= 1. В сеч – Элл, полуоси котор им вид
a(1-z^2/c^2)^0.5
и b(1-z^2/c^2)^0.5.
S(z)
–
пл
элл
= pi*a(z)*b(z) = pi*ab(1-z^2/c^2). Найдем
V: V=SS<-c><c>(S(z)dz)=pi*abSS<-c><c>(1-z^2/c^2)dz
=2pi*abSS<0><c>(1-z^2/c^2)dz
=2pi*ab-2pi*abSS<0><c>(z^2/c^2)dz
=2pi*ab-2pi*abz^3/(3*c^2)|<0><c> = 4/3pia^3.
Найдем
ф-лу для объема тела вращ.
Y=f(x)
– гр-к ф-ции, a<=x<=b,
этот гр-к вращ вокр оси ОХ => обр тело
вращ, огр 2-я плоск x=a
и x=b.
Очев, при всяк x
попер сеч этого т будет круг, с рад равн
y=f(x).
Площ такого круга S(x)=pi*f(x)^2,
отсюда Vтв=piSS<a><b>(f(x)^2)dx.
ПР:
найд V
параболоида
вращ с рад осн r
и выс h.
(рис, где верт параб-ид, выс h
и r
в пр-ции осн). Y=αx^2,
α=h/r^2,
y=
(h/r^2)*x^2.
V=piSS<0><h>(x^2dy)
= pi*r^2/hSS<0><h>(ydy)
= ½*pi*r^2*h.
В пск
линии зад Ур-ями: po=po(fi),
α<=φ<=β. Рис, где лучи, ось, углы α,β.
Найд S
крив сектора, огр зад кривой и парой
лучей φ=α,φ=β. Если этот сект на мал, то
будет вып адд. Рассм сект, огр φ
и φ+dφ.
2pi
– pi*po^2,
dfi
– dS,
dS=0.5SS(ρ(φ)^2*dφ)
– ф-ла S
в пск.
ПР:
найти
Sфиг,
огр лин (x^2+y^2)^2
= a^2(x^2-y^2).
Есть симм отн обоих осей. x=
ρcosα,
y=ρsinα,
подст, получ ρ=а(cos2α)^0.5.
В 1 четв: 0<=2fi<=pi/2,
0<=fi<=pi/4.
рис: знак беск нанизан на ось х, симм во
всех четвертях, угол касс в 0 равен 45.
это Лемниската
Бернулли.
Пр-е расст до 2-х фокусов одинакова.
Sлем=
4*1/2*SS<0><pi/4>(a^2*cos(2fi))dfi
= a^2*sin(2fi)|<0><pi/4>
= a^2.
НАХОЖДЕНИЕ
ДЛИН ЛИНИЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.
po=po(fi),
α<=φ<=β, {x=
ρ(fi)cosα,
y=ρ(fi)sinα}.
dl
= (dx^2+dy^2)^0.5=…=((po’(fi))^2
+ (ro(fi))^2)^0.5*dfi.
L=SS<α><β>((po’(fi))^2
+ (ro(fi))^2)^0.5.
ПР:
найти длину линии ρ=a(1+cosφ),
φ
Э [-pi;
pi].-
кардиоида.
(рис: типа яблока веткой влево, нанизано
на х, ветка в 0, а хвост в 2а).
l=2SS<0><pi>(a^2(1+cos(fi))^2+a^2*sin(fi)^2)^0.5*dfi
= 8a.
НАХОЖДЕНИЕ
МАССЫ СТЕРЖНЯ ПО ПЛОТНОСТИ.
Предп,
что есть прямол стерж [0,l(это
L)]
на оси x,
допуст, что в кажд (.)х этого ст изв его
ρ. Найд массу этого ст. М обл св-вом адд.
Если [x,x+dx],
то элем масса dm=ρ(x)dx.
M-SS<0><l>(ρ(x)dx).
Предп теперь, что у нас на плоск имеется
криволин стерж, котор имеет форму лин
y=f(x).
В кажд (.) этого ст изв ρ:
ρ(x,y)=
ρ(x,f(x)).
Для такого станд элем m:
dm=
ρdl=
ρ(1+f’(x))^0.5*dx.
m=SS<a><b>
(ρ(1+y’(x)^2))dx.
Если бы крив была зад x=x(t),y=y(t),
α<=t<=β,
то m=SS<α><β>(
ρ(x.^2+y.^2)^0.5)dt.
Аналогично, если бы в пр-ве, только бы
+z.^2.
НАХОЖДЕНИЕ
ПУТИ ПО СКОРОСТИ.
(.) движ
прямолин так, что в кажд мом врем изв
ее скор v(t),
тогда элем путь, пройд (.) за пром врем
[t,t+dt]
dS=v(t)dt.
Кроме того, путь обл св-вом адд, отн пром
врем, поэт за пром врем от t1
до t2
пройд (.) путь: S=SS<t1><t2>(v(t)dt).
НАХОЖДЕНИЕ
РАБОТЫ СИЛЫ.
Предп,
что (.) движ прямол вдоль OX.
При этом на нее действ сила F(x),
и напр под α(x)
к ох. (рис). Если мы рассм элем перемещ
из х в х+dx,
то соотв элем раб будет такой dA=F(x)cosxdx.
Заметим, что раб на всем переем может
рассм как сумма работ на отд частях.
Если (.) из а в b,
то A=SS<a><b>(f(x)cosα(x))dx.
ПР:
Какую
раб надо затр для под тела, имеющ массу
m
с пов на H.
(рис). Пусть R
– рад Земли, х – расст от (.) до пов-сти
Зем, тогда по ЗВсТяг: P(x)=
k/(x+R)^2.
P(0)=k/R^2=mg
=> k=mgR^2.
P(x)=(mgR^2)/(R+x)^2.
Для
x-> x+dx: dA = P(x)dx = (mgR^2*dx)/(R+x)^2.
A=SS<0><H>(mgR^2)/(R+x)^2*dx=(mgRH)/(R+H). Если
H<<R,
то A=mgH.
НАХОЖДЕНИЕ
РАБОТЫ ПО МОЩНОСТИ.
Если
А(t)
– раб, зав от вр => очев, что эта раб
должна обл св-вом адд отн пром врем.
Кроме того dA(t)/dt=N(t),
отсюда dA(t)=
N(t)dt
=> N
–плотн, по отн к раб => A
за [t,t+dt]:
A=SS<t1><t2>(N(t)dt).
ПР:
предп, что им период-кий ток J(t)=
J0*sin(ωt+fi).
Этот ток им период T=2*pi/ω.
Предп, что ток прох чз R
– омич сопр, тогда мощн N(t)=
RJ^2(t),
знач в наш случ: N(t)=RI0^2sin^2(ωt+fi),
это озн, что раб тока за период:
A=SS<0><T>(RJ0^2sin^2(ωt+fi))dt
= RJ0^2SS<0><T>(1/2(1-cos(2ωt+2fi))dt)=
1/2RJ0^2*T.
НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ ПО БЕСКОНЕЧНЫМ ПРОМЕЖУТКАМ.
f(a,+беск)
будем счит, что при люб b>=a
сущ инт SS<a><b>(f).
Перейд к пред lim<b->
беск>(SS<a><b>(f))
наз несоб инт от ф-ции f
по пром [a,+беск],
обозн он SS<a><+беск>.Если
пред сущ, то ф-цию f
наз «интегрируемой на пром [a,+беск]»,
а несоб инт наз «сходящ», и наоборот.
ПР:
SS<1><+беск>(x^2dx)=
lim<b
-> беск>(SS<1><b>(x^2))=
+беск => расход.
ПР2:
SS<0><+беск>(dx/x^p)=*.
Выясним, при каких р он сход. (a>0).
*=lim<b-> +беск>SS<a><b>(dx/x^p)=
lim<b->+беск>((x^(-p+1))/(-p+1))|<a><b>
= lim<b->+беск>(1/(1-p))(b^(1-p)-a^(1-p))
= {p>1 =>b^(1-p)->0, p<1 =>b^(1-p) -> беск,
p=1 => SS<0><беск>(dx/x)
(a>0) = lim<b->0>(lnb-lna)=беск}
= |-(a^(1-p)/(1-p)), p>1; +беск,
p<=1|. т.о.
мы
доказали
Т1:
SS<a><+беск>(dx/x)(a>0)
сход
титтибнк
p>1.
ПР3:
SS<a><+беск>(e^(αx)dx)=lim<b->
беск>SS<a><b>(e^(αx)dx)=
lim <b->+беск>
1/α(e^(αb) -e^(αa))= {e^(αb)->0 при
b-> +беск,
если
α<0; e^(αb)->беск
при
b-> +беск,
если
α>0} = |(-1/α)*e^(+αa), α<0; +беск,
α>0|. Если
α=0, то SS<a><+беск>(dx)=+беск,
т.е. расход. Т.о. Т2:
SS<a><+беск>(e^(αx)dx)
сходится титтибнк α<0.
Рис(оси, α>0 – ветвь параб вверх, α=0 -
|| ОХ, α<0 – асс прибл к ОХ, в перв 2 случ
– беск, в 3-м - конеч). Задача: y=1/x,
x
Э (1; +беск). =SS<1><+беск>
dx/x
= +беск => S=+беск.
V=pi*SS<1><+беск>(y^2dx)
= piSS<1><беск>(dx/x^2)=
-pi/x|<1><+беск>
= pi.
V
– конечен!!.
Предп,
что f(x)
имеет перв F(x),
тогда при всех b
справ рав-во: SS<a><b>(f)
= F(b)-F(a).
(Н-Лейб). Если b->беск
или обе ч имеют предел, либо обе ч не им
пред, поэтому SS<a><+беск>=F(+беск)-F(a),
тем сам мы распр ф-лу Н-Л на несоб инт.
Если сущ пр/лев, то сущ лев/прав части.
ПР:
SS<0><+беск>(dx/(1+x^2))=
arctgx|<0><+беск>
=0+pi/2=pi/2;
SS<0><+беск>dx/(1+x)=
ln(1+x)|<0><+беск>=
беск, => расх. Предп, что f
зад на пром (-беск; b),
Если при всяк a<b
сущ SS<a><b>(f),
то lim<a->
-беск>SS<a><b>(f)
будем наз «несоб
имт от ф-ции f
по пром (-беск; и)»
и будем пис: SS<-беск><b>(f).
ПР:
Т3:
SS<-беск><b>(e^(αx)dx)
сход титтибнк α>0.
На этот инт распр ф-ла Н-Лейбн:
SS<-беск><b>(f)=F(b)-F(-беск).
Предп, что f
зад на всей оси и для люб a
и b
сущ SS<a><b>(f),
тогда lim<a->-беск;
b->
+беск>SS<a><b>(f)
наз «несоб инт от f
по всей вещ оси» и обозн: SS<-беск><+беск>(f),
причем a
и b
никак не св мд собой. ПР:
SS<-беск><+беск>(dx/(1+x^2))
= lim<a->-беск;
b->
+беск>SS<a><b>(dx/(1+x^2))=lim<a->-беск;
b->
+беск>(arctg(b)-arctg(a))=pi.
Пусть
f
зад на всей оси, инт-уема на люб конеч
пром lim<a->
+беск>SS<-a><a>(f)
наз «глав знач несоб инт от f
по всей вещ оси», обозн так:
v.p.SS<-беск><+беск>(f).
Если инт сущ, то сущ гл знач и его знач
и гл знач дают одно и то же, однако из
сущ гл знач не след сущ-е несоб инт. ПР:
SS<-беск><+беск>(xdx/(1+x^2))=+беск;
v.p.SS<-беск><+беск>(xdx/(1+x^2))=0.
Гл знач есть, а инт нет!
Замет,
что для инт по всей оси можно запис
рав-во: SS<-беск><+беск>(f)
= F(+беск)-F(-беск)
– ф-ла Н-Л (если сущ п.ч., то сущ л.ч.)
НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ ПО НЕЗАМКНУТЫМ ПРОМЕЖУТКАМ.
Пусть
f[a,b)
и при люб c<b
сущ такой инт SS<a><c>(f),
тогда lim<c->b-0>SS<a><c>
наз «несоб инт от f
по [a,b)»
и обозн SS<a><b>(f),
b-0
– не принято писать. Если lim
сущ, то «инт сход», а ф-ция «инт-ема на
пром». Если f
имеет первообр F,
то мы получ SS<a><b>(f)=
F(b-a)-F(a).
Анал обр вв несоб инт по пром (a,b]
и (a,b)
и для этих инт сохр ф-ла Н-Л. Т4:
SS<0><a>(dx/x^p)
(a>0)
сход титтк p<1.
При
рассм несоб инт возн 2 осн ??: 1) Сущ ли
инт? 2) Как выч инт, если он сущ?
ТЕОРЕМЫ
СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Т1:
пусть
на [a,+беск)
зад 2 неот ф-ции f1
и f2,
инт-е в люб конеч пром [a;b]
и удовл усл: f1(x)<=f2(x),
тогда если сущ SS<a><+беск>(f2),
то сущ инт SS<a><+беск>(f1).
Док-во:
рассм J1(b)=SS<a><b>(f1)
и J2(b)=
SS<a><b>(f2),
из усл Т очев, что J1(b)<=J2(b)
и, кроме того, очев, что J1(b)
и J2(b)
возр. Из усл мы знаем, что сущ lim<b->
+беск>J2(b).
Возр велич, имеющая lim
огр сверху, знач найдется такое М, что
J2(b)<=M,
но в таком случ J1(b)<=M,
т.о. J1(b)
возр и огр сверху, знач сущ lim<b->+беск>J1(b),
т.е. сущ SS<a><+беск>,
читд. Эта Т ост справ для несоб инт ост
типов. Следствие:
Если вып усл Т, и при этом SS<a><+беск>(f1)
расх, то SS<a><+беск>(f2)
тоже расх. Заключ:
для справ
Т дост,
чтобы усл f1(x)<=f2(x)
вып не на всем пром [a;+беск),
а лишь на некот его части [c,+беск),
c>a.
Рассм SS<0><+беск>(dx/(x^4+x^2+1)).
Очев, что на этом пром вып усл
0<1/(x^4+x^2+1)<1/x^4.
Рассм SS<1><+беск>dx/x^4,
по теореме сравн будет сходиться
SS<1><+беск>(dx/(x^4+x^2+1)),
но кроме того SS<0><1>(dx/(x^4+x^2+1))
=> весь SS
будет сход. ПР:
SS<1><+беск>(e^(-x^2))dx,
x>1
=> x^2>x
=> e^(-x^2)<
e^(-x).
SS<1><+беск>(e^(-x))
сход => наш инт тоже сход. Т2:
(предельная форма теоремы сравн) на [a;
+беск) f1>=0
и f2>=0,
инт-емые на люб конеч пром [a,b],
тогда если сущ lim<x->беск>(f1(x)/f2(x))=l
и l>0,
но SS<a><+беск>(f1)
и SS<a><+беск>
в отн сход-сти ведут себя один, т.е. либо
оба сход, либо ода расх. По усл сущ
lim<x->
беск>(f1(x)/f2(x))=l(это
L)>0.
Возьмем ε=l/2,
в соотв с опр пред, найд такое С, что при
всех x>С
буд вып нер-во: l/2<((f1(x))/(f2(x)))<=3l/2.
При всех х>C
будет вып (l/2)f2(x)<f1(x)<(3l/2)f2(x).
Предп теперь, что SS<a><+беск>(f1)
сущ, тогда сущ SS<c><+беск>(f1),
тогда, в соотв с т. Сравн сущ
SS<c><+беск>(l/2)f2,
тогда сущ SS<c><+беск>f2
(l/2
–const
и на нее можно дел)=> сущ SS<a><+беск>(f2).
Т.о. если сущ SS<a><+беск>(f1),
то сущ SS<a><+беск>(f2),
так же док-ся, что из сущ-я 2-го инт вытек
сущ первого.
Вместо
предл усл Т можно: если при x->
+беск f1(x)~l*f2(x),
(l>0),
то тогда в отн сходимости несоб инт вед
себя одинак. ПР:
SS<0><+беск>(dx/(x^3+x^2+1)),
1/(x^3+x^2+1)~1/x^3
(x->
+беск). Аналог обр предельн т. Сравн
рассм дляя ост несоб инт. ПР2:
SS<0><pi/2>(dx/sinx),
sinx~x
(x->0)
=> 1/sinx~1/x(x->0),
SS<0><pi/2>(dx/x)-
расх=> наш тоже расх.
SS<0><+беск>(f)
наз абсол сход-ся, если сход такой инт:
SS<a><+беск>|f|.
Справ Т3:
Если сход SS<a><+беск>|f|,
то сход SS
от самой ф-ции SS<a><+беск>(f).
Рассм
такой SS:
SS<1><+беск>(sinx/x^2)dx,
вместо нашего: SS<1><+беск>(|sinx|/x^2)dx,
при всех x
|sinx|<=1,
поэт |sinx|/x^2<=1/x^2.
SS<1><+беск>(dx/x^2)
сход => SS<1><+беск>(|sinx|/x^2)dx
будет сход=> SS<1><+беск>(sinx/x^2)dx
тоже сход. ПР2:
2
знаменит несоб инт:
1) Г-ф-ция
Эйлера.
Г-ф-цией Э от арг α наз
Г(α)=SS<a><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx.
Иссл сход-сть этого инт. Разоб его на
2: SS<0><1>
(x^(α-1)*
e^(-x))dx.
Если x->
0, то x^(α-1)*e^(-x)~x^(α-1).
Поэт SS<0><1>(x^(α-1))=
SS<0><1>
(dx/(x^(α-1)))
– сход титтк 1-α<1, титтк α>0. Рассм
2-ю ч нашего инт: SS<1><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx.
Мы знаем след: люб степенн ф-ция раст
медл, чем показ, при люб α, x^(α-1)
возр медл, чем e^(x/2),
при x->
+беск => найд такое С, что при всех х>=C
будет вып x^(α-1)<e^(x/2)
=> при этих х будет x^(α-1)*e^(-x)<e^(-x/2).
Мы знаем, SS<C><+беск>(e^(-x/2))dx
сход => сход наш SS<1><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx
при люб α. => весь Г(α)
сущ при всех α>0.
SS(Г(α)):
предп, что α>1, тогда SS
будет заведомо сущ, тогда Г(α)=
SS<0><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx
= SS<0><+беск>(x^(α-1)*d(e^(-x)))=
инт по частям: x^(α-1)*e^(-x)|<0><+беск>
+ SS<0><+беск>(e^(-x)*d(x^(α-1)))
= (α-1)SS<0><+беск>(x^(α-2)*e^(-x))dx
= (α-1)Г(α-1). Если α>1, то Г(α)=(α-1)Г(α-1) –
рекур соотн. Исп-я это св-во Г-ф-ций можно
сост табл только для α от 0 до 1 и по этим
табл выч знач Г(α). Предп, что α – целое
полож число, α=n,
тогда Г(n)=(n-1)Г(n-1)=
(n-1)(n-2)…1*Г(1)
= (n-1)!*Г(1).
Г(1)=1^α=1.
Г(n)=(n-1)!.
Г-ф-ция позв распр пон ! на нецелые числа.
Рис (Г(α), параб, прох чз (1,1), (2,1), (3,2), асс
прибл к Г). Можно доказ, что Г(1/2)=(pi)^0.5.
Г(3/2)=(1/2)!=0,5*(pi)^0.5.
ФУНКЦИИ
ГАУССА И ЛАПЛАССА.
1. ф.
Гаусса.
φ(x)=(1/(2*pi)^0.5)*e^(-x^2/2),
х Э R1.
1) φ(x)>0
2) φ(-x)=
φ(x)
3) φ(x)
убыв при х Э(0, +беск), φ(x)
возр при х Э (-беск, 0) 4)max
φ(x)=
φ(0)= 1/(2*pi)^0.5
5) x=+-1
– (.)(.) перегиба φ(x).
(рис – «горка»). 2.
ф. Лапласа.
Ф(х)= SS<-беск><x>(
φ(x))=
(1/(2*pi)^0.5)SS<-беск><x>(e^(-t^2/2))dt.
Покаж, что этот инт сход при люб х. Для
этого разоб инт на 2: SS<-беск><-2>(φ);
SS<-2><x>(φ).
2-й всегда сущ – обычный опр инт от
непрер ф-ции. (1/(2*pi)^0.5)*SS<-беск><-2>(e^(-t^2/2))dt,
t<=-2,
t>=-t^2/2
=> e^t>=e^(-t^2/2).
(1/(2*pi)^0.5)*SS<-беск><-2>(e^t)dt
=> наш инт тоже сход. Оба инт сход, знач
Ф(x)
сущ при люб х. 1.
Ф(x)>0
(под инт стоит полож ф-ция) 2.
Ф’(х)= φ(x)>0
=> Ф(х) возр. 3.
Ф(-беск)=0 4.
Ф(беск)= SS<-беск><беск>(1/(2*pi)^0.5)*e^(-t^2/2)dt
= SS<0><беск>
(2/(2*pi)^0.5)*e^(-t^2/2)dt=*
t^2/2=τ,
t=
2^0.5*(τ)^0.5, dt=2^0.5*dτ/(2*(τ)^0.5)
*=(2/(2*pi)^0.5)*
SS<0><+беск>(e^-τ*(2^0.5/(2*(τ)^0.5)))=
1/(pi)^0.5*SS<0><+беск>(τ^(-0.5)*e^(-τ))dτ=
(1/(pi)^0.5)*Г(1/2)=
(1/(pi)^0.5)*(pi)^0.5
=1. 5.
Ф(0)=1/2, 0 – (.) перегиба. (рис, где Ф(х), до
0 – Ф=0 – асс, после 0 – Ф=1 – асс, перегиб
в (0,0.5)). 6.
Ф(-х)=1-Ф(х). Сущ табл ф-ции Ф(х). Их сост
для [0;4]. Ф(4)= 0,99997. Часто ф-цией Лапласса
наз ф-цию SS<0><х>(φ).
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ
ИНТЕГРАЛ ПО ДЛИНЕ ДУГИ.
Пусть
в пр-ве имеет лин AlB,
и на этой лин нужна ф-ция f(M),
M
Э AlB,
M(x,y,z).
Введем инт от этой ф-ции по этой лин.
Для этого разоб к-н (.)(.) лин AlB
на n
на частей. Эти части занум. Найд длины
этих частей (Δl1,
Δl2,
Δln),
затем в кажд из этих частей возьм по
(.): M1,M2,Mn.
Во взят (.)(.) найд знач ф-ции. F(M1)…f(Mn).
Затем сост пр-я: f(M1)*
Δl1…f(Mn)*
Δln.
Эти пр-я слож (постр инт сумм).
Z<k=1><n>f(Mk)*
Δlk.
Наиб из велич Δlk
наз рангом др и обозн чз α.
Lim<α->0>Z<k=1><n>(f(Mk)*
Δlk)
наз «инт от f
по дл дуги AlB
» или «кривол инт». SS<AlB>(f(m)dl)=
SS<AlB>(f(x,y,z)dl) – обозн.
Лиин
инт от вект не завис от напр-я инт-я:
SS<AlB>=SS<BlA>.
Если лин AlB
им длину («спрямляема») и а(д) непр на
этой лин, то инт сущ. Св-ва
кривол инт
анал св-вам опред инт. 1)
SS<AlB>(c1f1+c2f2)dl
= c1SS<AlB>(f1dl)+
c2SS<AlB>(f2dl),
если стоящ справа инт сущ. 2)
SS<Al1Cl2B>(fdl)=
SS<Al1C>(fdl)+S<Cl2B>(fdl)
3)
Если f(M)>=0,
то SS<AlB>(f(M)dl)=0.
4)
Если f1(M)<=f2(M),
то SS<AlB>(f1dl)<=SS<AlB>(f2dl)
5)
Если s<=f(M)<=S,
тогда s*|l|<=SS<AlB>(f(M)dl)<=S*|l|,
где || - не модуль, а обозн длины. 6)
Если
ф-ция непр на всей лин, вкл концы, то на
этой лин найд (.)с, что SS<AlB>(fdl)=f(c)*|l|.
ВЫЧИСЛЕНИЕ
ИНТЕГРАЛОВ.
Предп,
что наша лин зад: {x=x(t),
y=y(t),
z=z(t),
α<=t<=β}.
Тогда dl=
(x.^2+y.^2+z.^2)^0.5*dt.
Поэт SS<AlB>(f(x,y,z)dl)=
SS<α><β>(f(x(t),y(t),z(t))*(x.^2+y.^2+z.^2)^0.5).
Это зн, что крив инт свод к обычно пр
инт. Это мож док, рассм инт суммы. В
частн, если крив на XOY,
то =-во прим вид:
SS<α><β>(f(x(t),y(t))*(x.^2+y.^2)^0.5*dt).
Пример:
Выч
инт:
SS<AlB>(x^2+y^2+z^2)dl=* x=accost, y=asint, z=ht/(2pi), t Э
[0; 2pi] *= SS<2pi><0>(a^2cost^2+ a^2sint^2+(h^2*t^2)/
(4*pi^2))*(a^2sint^2+a^2cost^2+h^2/(4*pi^2))^0.5*dt=
(4*pi^2*a^2+h^2)^0.5*(a^2+h^2/3).
ПРИМЕНЕНИЕ
КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА.
1)
предп, что им стерж, форма – AlB.
Пусть ρ(М) – плот ст в (.)М, тогда масса
ст равн SS<AlB>(
ρ(M)dl).
Док-во:
возьм кусочек Δlk.
В этом кус – (.)Мk,
в этой (.) посч ρ(Мk),
тогда масса этого кус Δm≈
ρ(Mk)Δlk.
2)
Нах-е стат мом и центров масс. Пусть в
пр-ве им матер (.) с массой m
и корд (x,y,z).
Стат мом этой (.) отн плоск YOZ
наз велич: Syoz=mx.
Анал введ еще 2 мом: Sxoz=my
и Sxoy=zm.
Если им сист матер (.)(.), то всяк стат мом
сист (.)(.) счит равным сумме мом этих
(.)(.), т.е. стат мом (по опр) обл св-вом адд.
Введ пон стат мом для стержня: Стерж,
имеющ форму AlB,
ρ(M)
- его плот. Возьм мал кус Δlk.
В этом кус Mk(xk,y,k,zk),
тогда стат мом этого кус ΔSyoz≈xk*ρ(Mk)*Δlk.
Склад все велич и перех к пред, мы получ
Syoz=
SS<AlB>(x*ρ(M)*dl)=
SS<AlB>(x*ρ(x,y,z))dl.
Анал нах 2 др мом: (замена множ х на y
и z
и все…). m=SS<AlB>(ρ(M)dl)
–масса. Точка с корд xc=Syoz/m;
yc=Szox/m;
zc=Sxoy/m
наз ц.м. стерж. Если плот ст =1 во всех
()(), то стат мом наз «геометрич-ким». И
вместо «стат мом ст» гов «стат мом
линии». Если стерж леж на плоск, то для
такого ст ввод стат мом отн осей коорд.
Sox=
SS<AlB>(y*ρ(M)*dl),
Soy
= SS<AlB>(x*ρ(M)*dl).
3)
Нах-е мом инерции. Предп, что им матер
(.) (x,y,z)
и с массой m.
Мом ин этой (.) отн оси Х наз такая велич
Jxx=(y^2+z^2)m.
Анал ввод Jyy=(z^2+x^2)m
и Jzz=(x^2+y^2)m.
Мом ин сист матер (.)(.) равен сумме мом
ин этих (.)(.). М.и. обл св-вом адд. Если в
пр-ве им стерж, форма котор совп с лин
AlB
и если нам изв плотн ρ(m),
то мом ин стерж нах по таким ф-лам:
Jxx=SS<AlB>
(y^2+z^2)ρ(M)dl,
Jyy=SS<AlB>
(x^2+z^2)ρ(M)dl+
Jzz=SS<AlB>
(x^2+y^2)ρ(M)dl.
Если стерж леж на плоск, то J
упрощ (1 коорд вместо суммы).
ЛИНЕЙНЫЙ
ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОРА (КРИВОЛИНЕЙНЫЙ
ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ).
Пусть
есть AlB
на котор задан F_(M)=
P(M)i_+Q(M)j_+R(M)k_.
M(x,y,z)
– (.). Разоб AlB
к-н ()() на n
частей. Обозн
()(): A=A0,A1,A2…An-1,An=B. Затем
кажд
из
частиц
замен
вект
Δl1_=A0A1_,
Δl2_=A1A2_,…,
Δln_=An-1An_.
На
кажд части лин возьм по 1(.). М1, М2…Мn.
В этих ()() найд знач вект. F_(M1),
F_(M2),…,
F_(Mn).
Сост скал пр-я F_(M1)Δl1_,…,
F_(Mn)Δl_n.
Слож: Z<k=1><n>(F_(Mk)Δlk_).
Рассм дробл наз длину наиб из всех част
на котор разб лин. Lim<λ->0>Z<k=1><n>(F_(Mk)Δlk_)
при ранге др стр к 0 наз инт SS<AlB>(F_).
(лин инт от вект). Обозн этот инт таким
обр: SS<AlB>(F_(M)dl_).
Заметим след. Пусть Δlk_=
Δxk*i_+Δyk*j_+Δzk*k_,
тогда F_(Mk)*Δlk_=
P(Mk)*Δxk+Q(Mk)*Δyk+R(Mk)*Δzk.
В соотв с этим инт сумм запишем:
Z<k=1><n>(пред
выр-е), при λ->0 эта сумма превр в инт:
SS<AlB>(P(M)dx+Q(M)dy+Q(M)dz),
где M(x,y,z).
Раб силы = сумме раб компон. Если (.)В
совп с (.)А, т.е. лин оказ замкн конт, то
такой инт наз «циркуляцией
вектора по контуру». SS<AlA>(F_(M)dl_)={круг
на интеграле}, иногда на этом зн еще
указ напр обхода. Если лин AlB
имеет дл, а F_
имеет непр проекции, то инт сущ. Отметим
св-ва
инт:
1. SS<AlB>=-SS<BlA>
2. SS<Al1Cl2B>
= SS<Al1C>+SS<Cl2B>
(если стоящ справа инт сущ) 3.
SS<AlB>(c1F1_(M)+c2F2_(M))dl
= c1*SS<AlB>(F1_(M)dl_)+
c2*SS<AlB>(F2_(M)dl_)
– св-во лин-сти (справа инт сущ). 4. Лиин
инт от вект нетр свести к инт от по дл
дуги. Обозн зч α(М) угол, котор F_(M)
сост с лин в (.)М, тогда F_(M)*dl_=F(M)dl*cos(α(M)),
тогда SS<AlB>(F_(M)dl_)=
SS<AlB>(|F_(M)|*cos(α(M))*dl)
– инт по длине дуги.
Лин инт от вект исп для нах раб
силы при переем (.).
Если () движ по AlB
и при этом на нее действ F_(M),
то рабю силы W=SS<AlB>(F(M)*dl_)=SS<AlB>(P(M)dx+
Q(M)dy+
R(M)dz).
Предп, что AlB
зад пар-кими Ур-ями: {x=x(t),
y=y(t),
z=z(t),
t
Э [α;β]}, причем α – А, β – В, тогда
SS<AlB>(F_(M)*dl_)
= SS<AlB>(P(M)dx+Q(M)dy+R(M)dz)
= SS<α><β>(P(x(t)
, y(t)
,z(t))
*x.+
Q(…)*y.+
R(…)*z.)dt.
Это =-во доказ так: надо постр инт суммы
для лев и прав ч и перех к пред. ПР:
SS<AlB>(zdx+xdy+ydz)=*
если AlB
– отр прям, соед A(-1;1;2)
и B(2;4;8).
(x+1)/3=(y-1)/3=(z-2)/6.
{x=3t-1;
y=3t+1;
z=6t-2;
t
Э [0,1]}. *= SS<0><1>((6t+2)3+
(3t-1)3+
(3t+1)6)dt
= 63/2.
Пусть
на XOY
есть обл Д в котор зад f(M)=
f(x,y).
(рис: оси+облачко). К-н лин разоб Д на n
частей, занумер. Затем найд площ част.
ΔS1,
…, ΔSn.
В кажд части возьм по (). Обозн их М1, …,
Мn.
Сост пр-я: ΔS1*f(M1),
ΔS2*f(M2),…,
ΔSn*f(Mn).
Сложим пр-я (постр инт сумму).
Z<k=1><n>(f(Mk)*ΔSk).
Рассм частичку. Диам част будет наз sup
раст мд точкой и част. Рангом др назов
наиб из диам тех частей, на котор разб
наша обл. Если ранг др стрем к 0, то число
част растет, а SS
уменьш => 0. Предел инт суммы при λ->0:
lim<λ->0>Z<k=1><n>(f(Mk)*ΔSk)
наз инт от f
по обл Д. (или двойным). Обозн: SSДSS(f)=
SSДSS(f(M)*dS)=
SS(f(M)*dS)=
SSДSS(f(x,y)dxdy).
Т:
Если обл Д имеет площ, а f
непр на всей обл, вкл её гран, то SSДSS(f)
сущ. Св-ва
двойного инт:
такие же как у один инт, но вместо
SS<a><b>
надо SSД.
Использование:
1. Нах
объемов тел.
Будем счит, что в Д Э R2
зад ф-ция z=f(M),
причем f(M)>=0.
Постр гр-к ф-ции. (рис: оси (3 шт), след на
ХОУ, горка объемная висит сверху). Зад:
найти V
тела, огр z=f(M),
плоск XOY
и цил, у котор напр-ие – границы Д. реш:
Разоб осн (Д) на n
част как-н лин, занумеруем. Через лин
делен провед верт цил от плоск до Перес
с пов-стью, тогда рассматриваемое тело
разоб на n
столбиков. Возьм част номером k
и S=ΔSk.
В этой част возьм (.)Мk,
и найд знач ф-ции, тогда можно найти V
столбика: ΔVk=
ΔSk*f(Mk).
Сумма об всех столб будет (прибл)
Z<k=1><n>
(f(Mk)*ΔSk).
Введ ранг дробл λ, тогда Lim<λ->0>Z<k=1><n>
(f(Mk)*ΔSk)
будет объемом тела. Это знач, что V=
SSДSS(f(M)ds).
2.
Нахожд площ пов-сти. Д
Э R2,
z=f(M),
постр гр-к => пов-сть. Задача: найти S
пов-сти z=f(M).
Разоб Д на n
частей к-н линиями, занумеруем, найдем
их S.
Пров верт цил до Перес с пов-стью =>
пов-сть разоб на части (n
шт). Обозн через Δσk
площ k-той
частицы пов-сти. Возьм (.) на пов-сти,
провед касс плоск и замен кус пов-сти
соотв кус кас плоск. ΔSk≈
Δσk*cosφk,
где φk-
угол мд касс плоск и ХОУ. Δσk≈
ΔSk/cosφk.
Как мы зн, угол мд 2 плоск – угол мд их
нормалями => φk
– угол мд норм к пов-сти и ОZ.
Норм имеет корд: {-f’x;
f’y;
1} – вектор. => cosφk
= 1/(f’x^2+f’y^2+1)^0.5
=> Δσk≈(f’x^2+f’y^2+1)^0.5*
ΔSk,
отсюда σk≈Z<k=1><n>((fx’(Mk))^2+(fy’(Mk))^2+)^0.5*
ΔSk,
введем λ и получ выр-е для полной пов-сти:
σ=lim<λ->0>Z<k=1><n>(пред
выр-е). т.е σ=SSДSS(пред
выр-е). Для сущ дост чтобы f
в Д имела непр частн пр-е. Или
σ=SSДSS((p^2+q^2+1)^0.5*ds).
3.
Нахождение моментов и центров масс
пластины.
Пусть
имеется плоск пласт, заним Д на ХОУ.
Обозн чз ρ(M)
плотн этой пласт в ()М. (плотн в расч на
ед площ). Тогда масса пласт: m=SSДSS(ρ(M)dS).
Стат мом отн ox:
Soy=SSДSS(x*ρ(M)dS),
ox:
Sox=SSДSS(y*ρ(M)dS).
()xc=Soy/m,
yc=Sox/m
– ц. м. Мом наз «геометр». Анал обр ввод
мом инерц (мом 2-го пор, центробеж мом):
Jxx=SSДSS
(y^2*ρ(M)dS),
Jyy,Jzz.
Пример с рельсой и просто бруском. У
рельсы мом больше.
SSДSS(f(x,y)dxdy).
Будем
счит, что Д на ХОУ огр парой прям: x=a
и x=b.
(рис, где у тучки срезали края, φ2,φ1).
Сверху и снизу: x=
φ1(x),
a<=x<=b,
y=
φ2(x),
a<=x<=b,
причем φ1(х)<=φ2(x).
Это – «простая» обл по отн к ох. Буд
счит, что f(x,y)>=0,
тогда SSДSS-
это V
тела, леж над нашей Д. V=SSДSSf(x,y)dxdy.
Рис(3 оси, х – на нас, искаженно тучку,
что над ней, образующие). Сдел след:
возьм x
мд a
и b
чз эту (.)провед плоск перп ОХ. В рез-те
– S
попер сеч тела. Обозн S
сеч через Sx,
тогда V=
SS<a><b>(S(x)dx).
S(x)=SS<
φ1(x)><
φ2(x)>(f(x,y)dy).
Это знач, что V=
SS<a><b>(SS<
φ1(x)><
φ2(x)>(f(x,y)dy)dx.
Сравнивая 2 выр-я для V
получаем, что двойной инт можно запис
как повт. SSДSS(f(x,y)dxdy)
= SS<a><b>(SS<φ1(x)><φ2(x)>(f(x,y)*dy))dx.
В
общ случ ф-ла ост такой-же. Если обл
непростая, то её надо разб на части.
Напис нами рав-во принято запис в виде:
SSДSS(f(x,y)dxdy)
= SS<a><b>dx*SS<φ1(x)><φ2(x)>f(x,y)*dy.
Пример:
найти V
тела, огр ХОУ, z=x^2+y^2,
у=1, y=x^2.
рис (3 оси, пар, плоск над ней, все ост).
V=
Sszdxdy
= SSДSS(x^2
+3y^2)dxdy
= SS<-1><1>dxSS<x^2><1>(x^2+
3y^2)dy
= 208/105.
Если
кажд ()М на плоск став по нек прав 1 опред
пара чисел (U,V)
и наоб кажд паре (U,V)
отвеч опред () плоск, то говор, что на
плоск зад с.к. Заметим, что в некот с.к.
такое взаимоодн соотв может наруш в 1
(.). Мн-во ()() плоск, где 1 из корд пост наз
«корд лин». Очев, что всякой ск отвеч
два сем-ва корд линий. Одно сем опред
U=const,
другое – V=const.
Они обр корд сетку. Если на плоск имеется
2 коорд сист, то мд этими сист должно
сущ взаимоодн соотв (кажд паре в 1 отв
1 пара в др и наоборот). В частн – дек
ск. (x;y)
и произв (u;v),
то х и у должны выр-ся через u
и v
и наоборот: {x=x(u,v);
y=y(u,v)}
Или
{u=u(x,y);
v=v(x,y)}.
Пример:
полярн корд. M(ρ,φ),
где ρ
– расст от () до 0, а φ
– угол мд вект и осью. Причем: ρ Э [0,
+беск], -pi<=φ<=pi.
Начало корд ρ=0
не имеет корд φ.
Корд линиями будут ρ=const
(окр-сти с ц в ()0), φ=const
(лучи, вых из нач коорд). (рис). Если
полярная ось совп с ОХ, то {x=
ρ cos
φ;
y=
ρ sin
φ
}.
Если
мы хотим выч двойн инт в к-л корд сист,
то для этого при построении инт суммы
нужно делить обл инт-я на части корд
линиями. В таком сл надо уметь нах площ
частей, огр корд линиям. Пример:
1) имеется декартова ск, то корд линиями
будут прям || корд осям и dS=∆x∆y=
dxdy.
2) криволин ск – (u,v).
Рассм фигуру, огр двумя парами близк
корд линий. рис(кривосторонний
прямоугольник, u=const,
u+du=const,
v=const,
v+dv=const,
M1,M2,M3).
Будем наз «элем площадкой». Гл часть
площади такой эл площ назыв «дифф
площади» в нашей ск. M1(u,v),
M2(udu,v),
M3(u,
v+dv).
Пользуясь тем, что ск связ с др ск: пусть
M1(x,y)
– в дек ск, тогда {x=x(u,v);
y=y(u,v)}=>
M1(x(u,v),
y(u,v));
M2(x(u+du,v)
,y(u+du,v));
M3(x(u,v+dv),
y(u,v+dv)).
x(u+du,v)-
x(u,v)
≈(δx/δu)du;
y(u+du,v)-
y(u,v)
≈(δy/δu)du
- вместо отр кривой взяли отр касс.
x(u,v+dv)-
x(u,v)
≈(δx/δv)dv;
y(u,v+dv)-
y(u,v)
≈(δy/δv)dv.
Теперь точки М2 и М3 замен ()() M2’(x+
(δx/δu)*du,
y+
(δy/δu)*du);
M3’(x+
(δx/δv)*dv,
y+
(δy/δv)*dv).
Перейдя к этим ()() мы замен кривол паралл
на паралл, пост на ребрах (M1M2’)_,
(M1M3’)_.
Эти векторы имеют проекции: (M1M2’)_=
((δx/δu)*du,
(δy/δu)*du),
(M1M3’)_=
((δx/δv)*dv,
(δy/δv)*dv).
dS=|(M1M2’)_*
(M1M3’)_|=
||i,
j,k/
(δx/δu)*du,
(δy/δu)*du,0
/(δx/δv)*dv,
(δy/δv)*dv,0||
= |k_|(δx/δu)*du,
(δy/δu)*du
/(δx/δv)*dv,
(δy/δv)*dv
|| = *; |k_|=1
=> k
исчезнет. *=|(δx/δu)*du,
(δy/δu)*du
/(δx/δv)*dv,
(δy/δv)*dv
|dudv.
Этот опред будем обозн через J(u,v)
и назыв опред Якоби или «Якобианом».
dS
= |J(u,v)|dudv
– в любой ск d
площ имеет вид. Поэт если мы вычисл
SSДSS(f(M)dS),
то в кривол ск он запис
SSДSS(f(u,v)*|J(u,dv)|dudv).
В кач примера рассм полярн ск: x=ρcosφ,
y=
ρsinφ,
J|δx/δρ,
δy/δρ/
δx/δφ,
δy/δφ|
= |cosφ,
sinφ
/-ρsinφ,
ρsinφ
|= ρcosφ^2+ρsinφ^2=ρ.
Отсюда dS
= ρdρdφ.
В соотв со сказ, в пол ск SSДSS(f(M)dS)=
SSДSS(f(ρ,φ)
ρ dρ
dφ).
Пример1:
найти Sпов
z=(x^2+y^2)/R,
где 0<=z<=R.
Площ пов σ= SSДSS(1+zx’^2+zy’^2)^0.5*dS
= 1/R*SSДSS(R^2+4(x^2+y^2))^0.5*dS
=* перейд к пол ск *= 1/R*SSДSS(R^2+4ρ^2)^0.5*dρ*dφ*ρ
= то же, только пределы –pi,
pi-
у внеш, <0><R>-
у вн. и dφ
вынесен мд SS
= (pi/6)*(5(5)^0.5-1)R^2.
Инт
Пуассона наз SS<-беск><+беск>(e^(-x^2)*dx).
Обозн этот инт чз J,
тогда J^2
= SS<-besk><besk>(e^(-x^2)*dx)*SS<-besk><besk>(e^(-y^2)*dy).
Этот инт можно рассм, как повт. Этот
повт превр в двойной. *=SSП(П=R2)SS
(e^-(x^2+y^2)*dx*dy).
В этом двойн инт перейд к полярн ск: *=
SSПSS(e^-(ρ^2)*ρ*dρ*dφ),
а теперь снова к повт: *= SS<-pi><pi>dφ*
SS<0><+беск>(e^(-ρ^2)*ρ*dρ)=
2pi((-1/2)*e^(-ρ^2))|<0><+беск>
= PI.
SS<0><беск>(e^(-x^2)*dx)=
pi^0.5/2
(тк под инт четная ф-ция).
Ф(беск)=
(1/(2pi)^0.5)*SS<-беск><беск>(e^(-t^2/2))*dt.
– ф-ция Лапласа. t/2^0.5=x,
*= 1. Ф(беск) = 1.
Вычислим
Г(1/2)= SS<0><беск>(x^(α-1)*e^(-x)*dx)=
SS<0><беск>(x^(-1/2)*e^(-x)*dx)
= * x=t^2
=> t=(x)^0.5
*=SS<0><беск>((1/t)*e^(-t^2)*2t*dt)
= 2SS<0><беск>(e^(-t^2)*dt)
= (pi)^0.5,
Г(1/2)= (pi)^0.5.
Пусть
в пр-ве имеется пов-сть ∆, на которой
задана ф-ция f(M).
Введ инт по этой пов. Разоб пов к-н лин
на n
частей, занумер, найдем площ этих частей:
∆σ1,∆σ2,…,∆σn.
В кажд из част возьмем по (). Обозн их
M1,
M2,
…, Mn.
Вычисл знач ф-ции в этих ()(). F(M1),…,
F(Mn).
Сост сумму вида Z<k=1><n>(f(Mk)*∆σk).
Введем ранг др – наиб из диам. (расст
мд ()() мерить вдоль пов-сти. ). Lim<λ->
0>Z<k=1><n>(f(Mk)*∆σk)
– наз-ся инт от f
по пов-сти ∆. ==SS<∆>(f(M)*dσ).
Если пов-сть ∆ имеет площ, а f
непр по всей пов-сти ∆, вкл границы, то
инт сущ.
Св-ва
инт по пов-сти = св-вам двойного инт.
Вычисл
так: Если
пов-сть зад явным Ур-ем z=φ(x,y),
где (x,y)
– (.) Э Д, Д Э R2,
то dσ=
(1+φx’^2+φy’^2)^0.5*dS.
SS<∆>SS
= SS<Д>SS(f(x,y,φ(x,y))*(1+φx’^2+φy’^2)^0.5*dS).
(повт инт в двойной). Этот инт можно исп
для нах масс стат мом инерц кривол
пласт, расп в пр-ве. Предп, что имеется
пов ∆ и в кажд () этой пов-сти F_(M).
Выберем к-н из сторон этой пов-сти, и в
кажд (.) проведем нормаль, соотв этой
стороне, затем возьмем алг пр-цию вектора
на нормаль Fn(M).
SS∆S(Fn(M)*dσ)
наз «потоком» F_n
через пов-сть ∆. Пример:
предп, что в нач корд помещ заряд q,
тогда этот заряд порожд E_=k*(q/r^2)*r0_,
здесь r_
- рад-вект, r0
= орт. Найд поток вект напр чз пов-сть
сферы с R
и центром в (.)(0;0). Ф=SS∆SS(Fndσ)=*
Возьм () на сфере, n_||r_,
E_||r_.
В нашем сл напр нормали и напр вектора
совп. *= SS∆SS((kq*dσ)/R^2)
(на пов-сти сферы пост)= (kq/R^2)*SS∆SS(dσ)=*
(kq/R^2)*4pi*R^2
= 4pi*kq.
– поток вектора через сферу.
Предп,
что в пр-ве R3
задано нек тело Т, и в этом телезад
f(M)=f(x,y,z).
Введем интеграл от этой ф-ции по этому
телу. Разоб тело к-н пов-стями на n
частей. Части занумеруем. Найд объемы
этих частей, ∆V1,
…, ∆Vn.
В кажд частичке возьм по (). Эти ()()M1,…,Mn.
Вычислим в этих ()() знач-я ф-ции. f(M1),
…., f(Mn).
Затем сост пр-я вида: f(Mk)*∆Vk,
и эти пр-я сложим. Z<k=1><n>(f(Mk)*∆Vk)
– инт-я Z.
Введ понят ранга дробл. Предел постр
суммы при λ-> 0 наз-ся инт от f
по T
или тройн инт от f
по T.
Lim<λ->0>(
Z<k=1><n>
(f(Mk)*∆Vk))=
SSS<T>SSS(f(M)*dV)=
SSS<T>SSS(f(x,y,z)dxdydz).
Можно ввести n-мерн
инт. Св-ва тройн инт анал двойному. Если
во всем теле Т f
непрер, то инт сущ. С пом 3-го инт можно
выч массы тел, моменты тел, цм тел
(находить).
Предп,
что тело Т огр снизу z=φ1(x,y),
(x,y)
Э Д. сверху z=
φ2(x,y),
(x,y)
Э Д, а сбоку цил пов-стью, у котор
образующая || оси z,
а напр-ей явл гр Д. рис (3 оси, проекция-
Д, 2 плоск на разн выс.). Тогда тройной
инт SSS<T>SSS(f(M)dV)=
SSS<T>SSS(f(x,y,z)dxdydz)=
SS<Д>SS(dxdy)SS<φ1(x,y)>
<φ2(x,y)>(f(x,y,z)dz).
Пример:
Найд корд цм треуг пит, которая ограничена
тремя коорд плоск и плоск x+y+z=a.
рис(пир на 3 осях, на каждой отсенает
а). коорд цм: xc=Syoz/V,
yc=Szox/V,
zc=Sxoy/V.
V=a^3/6.
xc=yc=zc.
Поэтому найд zc.
Sxoy=
SSS<T>SSS(zdV)=
SSS<T>SSS(zdxdydz)=
SS<Д>SsdxdySS<0><a-x-y>zdz
= SS<Д>SS(z^2/2|<0><a-x-y>)dxdy
= 1/2SS<Д>SS(a-x-y)^2*dxdy
= 1/2SS<0><a>SS<0><a-x>(a-x-y)^2dy
= ½SS<0><a>(-(a-x-y)^3/3)|<0><a-x>dx=0+
1/6SS<0><a>((a-x)^3dx)
= -1/6*(a-x)^4/4|<0><a>=
1/24*a^4.
Sxoy=a^4/24;
Sxoy/V=xc=yc=zc=a^4/24*6/a^3=a/4.
xc=yc=zc=a/4.
простейшие жестк фиг: отр (R1)
– цм a/2,
треуг (R2)
– цм a/3,
пир(треуг) (R3)
– цм a/4,
=> a/(n+1).
Первообразная и определенный интеграл
Понятие определенного интеграла.
Формула ньютона-лейбница.
Общая схема применения определенного интеграла.
Применение интеграла.
Нахождение объемов тел по площади поперечных сечений.
Нахождение площадей в полярных ск
Абсолютная сходимость несобственных интегралов
Двойной интеграл.
Вычисление криволинейного интеграла в декартовой с.К.
Криволинейные координаты на плоскости.
Нахождение двойного интеграла в криволинейных координатах.
Интеграл пуассона.
Интеграл по площади поверхности.
Тройной интеграл
Вычисление тройного интеграла.