Решение систем линейных уравнений итерационными методами.
Помимо прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений MATLAB обладает мощными современными итерационными методами решения больших систем уравнений. К итерационным методам относятся те, решение которых получается в ходе ряда шагов – итераций, постепенно ведущих к получению результата с заданной погрешностью.
В качестве примера рассмотрим двунаправленный метод сопряженных градиентов, который реализуется с помощью функции bigcg.
Построим матрицу системы с три диагональной структурой и размером 10x10:
n = 10;
on = ones(n, 1);
A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1, n, n);
В качестве элементов вектора правой части возьмем сумму элементов матрицы A в соответствующих строках:
b = sum(A, 2);
Для решения системы Ax=b применим один из одиннадцати существующих форматов вызова функции bigcg:
x = bicg(A, b);
bicg converged at iteration 10 to a solution with relative residual 8.6e-014
В результате система выдает сообщение о сходимости итерационного процесса и приводит относительную погрешность.
Обратная матрица и определитель.
Определитель квадратной матрицы находится с помощью функции det:
det(A)
ans =
1
Обратная матрица находится с помощью функции inv:
inv(A)
ans =
3 -3 1
-3 5 -2
1 -2 1
Факторизация Холецкого.
Если матрица системы является симметричной (или эрмитовой) и положительно определенной, то ее можно представить в виде произведения двух треугольных матриц: A=R’R, где R – верхняя треугольная матрица, R’ – транспонированная. Факторизация Холецкого выполняется с помощью функции chol:
R = chol(A)
R =
1 1 1
0 1 2
0 0 1
Легко проверить, что произведение R’R дает исходную матрицу Паскаля. Факторизация Холецкого приводит систему Ax=u к виду R’Rx=u. Поскольку оператор ‘\’ распознает системы с треугольными матрицами, приведенную систему можно решить очень быстро:
x = R\(R'\u)
x =
10
-12
5
Lu факторизация.
LU
факторизация, или гауссово исключение,
выражает любую квадратную матрицу A
как произведение перестановки нижней
треугольной матрицы L
и верхней треугольной матрицы U,
где матрица L
имеет единичную главную диагональ.
Перестановки важны как с теоретической,
так и с практической точки зрения. Так,
матрицу
невозможно представить в виде произведения
двух треугольных матриц без перестановки
двух строк. С другой стороны, хотя матрицу
можно
представить в виде произведения двух
треугольных матриц, при малом значении
элементы
матриц-сомножителей будут очень большими,
что приведет к большой численной
погрешности. Для выполнения разложения
служит функция lu:
[L, U] = lu(X) возвращает верхнюю треугольную матрицу U и нижнюю треугольную матрицу L (точнее, произведение нижней треугольной матрицы и матрицы перестановок), так что X = L*U;
[L, U, P] = lu(X) возвращает верхнюю треугольную матрицу U, нижнюю треугольную матрицу L и матрицу перестановок P, так что L*U = P*X;
B=lu(X) возвращает матрицу B такую что, B(i, j) = U(i, j) для всех индексов ji и B(i, j) = L(i, j) для всех индексов j<i. Поскольку диагональные элементы матрицы L равны единице, их можно не хранить.
Рассмотрим факторизацию магической матрицы B:
[L U] = lu(B)
L =
1.0000 0 0
0.3750 0.5441 1.0000
0.5000 1.0000 0
U =
8.0000 1.0000 6.0000
0 8.5000 -1.0000
0 0 5.2941
Отметим, что строки матрицы L переставлены местами. Легко проверить, что B = L*U.
LU факторизация матрицы B позволяет очень быстро решить систему Bx=u:
x = U\(L\u)
x =
0.5528
0.2611
-0.2806
Получим представление матрицы перестановок P:
[L, U, P] = lu(B)
L =
1.0000 0 0
0.5000 1.0000 0
0.3750 0.5441 1.0000
U =
8.0000 1.0000 6.0000
0 8.5000 -1.0000
0 0 5.2941
P =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Строки матрицы L стоят на своих местах. Легко проверить, что L*U = P*B. Определитель и обратную матрицу из LU разложения можно найти по формулам:
det(B) = det(L)*det(U) и inv(B) = inv(U)*inv(L).