- •5.Разложение на простые дроби. Pn(X)/Qm(X)
- •6.Метод Остроградского.
- •9. Интегралы вида вычисляются при помощи подстановок Эйлера.
- •Окончательно.
- •10.Интегралы вида :
- •11.Рассмотрим функцию f(X), определенную в каждой точке сегмента [a,b].
- •13. Интегрируемость непрерывной функции или кусочно-непрерывной.
- •14. Линейность определённого интеграла.
- •Для того чтобы доказать это равенство сформулируем и докажем лемму:
- •Теорема
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Следствие 3
- •Следствие доказано
- •Следствие доказано
- •Рассмотрим интегральную сумму
- •16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям, замена переменных в определенном интеграле.
- •17.Формулы прямоугольников и трапеций для приближенного вычисления интегралов. Оценка погрешности.
- •20.Плоской фигурой q называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой l. При этом кривую l будем называть границей фигуры q.
- •Если рассмотрим обе формулы площадей вместе, получим
- •Площадь плоской фигуры.
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Площадь фигуры ограниченной спрямляемой прямой в параметрическом виде
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Необходимость
- •Достаточность
- •Замечание
- •Утверждение
- •Доказательство
- •23. Несобственные интегралы 1,2-го рода, сходимость. Сходимость интегралов вида
- •24. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов.
- •25.Признак сходимости (Достаточное условие)
- •26.Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •27. Интегральный признак Коши.
- •28. Признак сравнения для числовых рядов. Предельный признак сравнения.
- •Признак Коши.
- •31.Интегральный признак сходимости числовых рядов.
- •32.Признак Лейбница (не все)
- •33. Абсолютная и условная сходимось.
- •Теорема Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму s, то ряд (3) также сходится абсолютно и имеет ту же самую сумму.
- •1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
- •2.Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве.
- •3. Понятие равномерной сходимости на множестве.
- •4. Критерий Коши.
- •Доказательство теоремы 1.1.
- •1) Необходимость.
- •2) Достаточность.
- •3.2 Признак Вейерштрасса.
- •Доказательство:
- •3.3 Признаки равномерной сходимости Абеля и Дирихле
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Утверждение
- •Теорема Абеля
- •Аналитическая функция (единственность). Ряд Тэйлора.
- •Утверждение
31.Интегральный признак сходимости числовых рядов.
Теорема Коши-Маклорена: пусть функция f(x) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой x>=m, где m-любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд
(1)m<=k<=бесконf(k)= f(m)+ f(m+1)+ f(m+2)+… сходится , когда существует предел при n->бескон последовательности an= mn f(x)dx (1’).
Док-во: пусть k – любой номер, удовлетворяющий условию k>=m+1, а x – любое значение аргумента из сегмента k-1<=x<=k. Так как по условию функция f(x) не возрастает на указанном сегменте, т о для всех x из указанного сегмента справедливы неравенства (2) f(k)<= f(x)<= f(k-1). Функция f(x), будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте k-1<=x<=k. Более того из неравенства (2) и из свойства(если f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a;b] и f(x)>=g(x) всюду на этом сегменте, то
a bf(x)dx>=a b g(x)dx) вытекает, что
(k-1)kf(k)dx<=(k-1)kf(x)dx<=(k-1)kf(k-1)dx или f(k)<= (k-1)kf(x)dx<=f(k-1) (3). Неравенства (3) установлены нами для любого k>=m+1. Запишем эти неравенства для значений k=m+1,m+2,…,n, где n – любой номер, превосходящий m.
f(m+1)<=mm+1f(x)dx<=f(m), f(m+1)<=m+1m+2f(x)dx<=f(m+1),… f(n)<=n-1n f(x)dx<=f(n-1) .складывая почленно эти неравенства, получим (4) m+1<=k<=n)f(k)<= mnf(x)dx <=m<=k<=n-1)f(k). Договоримся обозначать символом Sn n-ю сумму ряда (1), равную Sn=m<=k<=n) f(k). Приняв это обозначение и учитывая обозначение (1’), мы можем следующим образом переписать неравенства (4): Sn – f(m)<=an<=Sn-1 (5). Неравенства (5) позволяют доказать теорему. В самом деле, из формулы (1’) очевидно, что последовательность {an} является неубывающей. Стало быть, для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (1) в силу теоремы( для того, чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограниченной)необходима и достаточна ограниченность последовательности {Sn}. Из неравенств (5) вытекает, что последовательность {Sn} ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность {an}, т.е. тогда и только тогда, когда последовательность {an} сходится. Т. Доказана.
32.Признак Лейбница (не все)
Если члены знакочередующегося ряда взяты по модулю, они образуют невозростающую бесконечно малю последовательность, то этот ряд сходится.
Док-во: Пусть дан ряд и известно что последовательность {pk} является невозростающей и бесконечно малой. Частичная сумма этого ряда, чётного порядка S2n можно записать ввиде
S2n = (p1 -p2) +(p3-p4)+…+(p2n-1-p2n). Так как каждая круглая скобка неотрицательна(pk>=pk+1), то ясно, что при возростании n последовательность {S2n} не убывает. С другой стороны S2n можно переписать ввиде S2n = p1 - (p2 –p3) -(p4-p5)-…-(p2n-2-p2n-1) – p2n, откуда очевидно, что для люього номера n будет S2n <=p1 таким образом последовательность чётных частичных сумм S2n не убывает и ограниченна сверху. В силу теоремы (если неубывающая последовательность {xn}ограничена сверху, то она сходится) эта последовательность сходится к некоторому числу S, то есть lim n->бескон S2n=S. Из очевидного равенства S2n-1=S2n+ p2n и из того, что lim n->бескон p2n=0, вытекает, что и последовательность нечетных частичных сумм {S2n-1 } сходится к тому же числу S, т.е. S2n-1->S при n->бесконечность, таким образом, вся последовательность {Sn} cходится к S.