5.3. Проверка однофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.

Дисперсия адекватности и её число степеней свободы для однофакторного уравнения регрессии первого порядка равны:

, (23)

, (24)

где n – число дублей в каждом опыте;  ‑ остаточная сумма квадратов;  ‑ расчетные значения параметра Y, полученные по однофакторному уравнению регрессии первого порядка ( ), в котором оставлены только значимые коэффициенты; N ‑ число опытов; В ‑ число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка.

Адекватность уравнения регрессии проверяется по критерию Фишера:

‑ экспериментальное значение критерия Фишера F_э, (отношение большей дисперсии к меньшей):

, (25)

‑ табличное значение критерия Фишера , где  ‑ число степеней свободы большей дисперсии,  ‑ число степеней свободы меньшей дисперсии, выбирается из таблицы Приложения 4;

‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р адекватно, если:

, (26)

‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р неадекватно, если:

. (27)

6. Предельная абсолютная погрешность параметра Y(Х₁), рассчитанного по однофакторному уравнению регрессии первого порядка , в случае его адекватности определяется по формуле:

, (28)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

7. Если полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению уравнению регрессии второго порядка.

Типовая задача (вариант № 30). Уравнение регрессии первого порядка

Цель: Освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных стохастических систем.

Формулировка задачи. Зерно, собранное в поле, имеет влажность  30 %. На току при естественной сушке зерно высыхает до влажности  20 %. Однако для сдачи на элеватор зерно должно иметь влажность 14 %. До этой влажности зерно доводят в специальных сушилах, теплоносителем в которых является горячий воздух. Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (энергия на тонну высушенного зерна). При прочих равных условиях удельный расход энергии (параметр Y, кВтч/т) зависит от температуры теплоносителя (фактор х₁,С ). В данной задаче изучалась зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителя х₁, которая варьировалась в диапазоне:   С.

Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии (параметр Y, кВтч/т) от температуры воздуха (фактор х₁ С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х₁(С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.

Моделирование изучаемой системы начнем с построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка. В качестве плана эксперимента возьмем РСП с числом опытов и числом дублей . Результаты эксперимента представлены в таблице 1.

Таблица 1. ‑ Экспериментальные данные для РСП.

N		Yj1, кВтч/т	Yj2, кВтч/т	Yj3, кВтч/т	Yj4, кВтч/т
1	-1.0	73.5	75.3	73.5	74.1
2	-0.5	60.4	60.2	63.7	61.5
3	0.0	55.4	59.0	58.8	54.8
4	0.5	54.8	55.5	54.3	51.9
5	1.0	59.7	62.5	57.9	57.8

План решения задачи.

1. Внимательно прочитать условия задачи.

2. Используя формулы взаимосвязи натуральных х₁ и нормированных Х₁ значений фактора, рассчитать натуральные значения по заданным нормированным значениям фактора.

3. Создать матрицу планирования эксперимента и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.

4. Создать матрицу моделирования и рассчитать коэффициенты .

5. Произвести статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнения регрессии первого порядка (значимость коэффициентов регрессии, адекватность уравнения регрессии).

6. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.

NB!!! Все предварительные расчёты проводить минимум до 4-х значащих цифр.

Решение задачи по плану.

1. Пункт плана 1 выполнить самостоятельно.

2. Уровни и интервал варьирования фактора, а также формулы перевода натуральных x₁ в нормированные X₁ и обратно приведены в таблице 2 (см. уравнения (2) – (5)).

Таблица 2. – Уровни и интервал варьирования фактора x₁ (X₁).

Факторы	1-й фактор (семена)
	x1, С	X1
Нижний уровень	x1 max = 120	+ 1
Верхний уровень	x1 min = 60	‑ 1
Основной уровень	x10 = 90	0
Интервал варьирования	x1 = 30
Формулы перевода натуральных x1 в нормированные X1 и обратно	;

3. Создадим матрицу планирования на базе РСП (см. раздел А, п. 3), внесём в неё экспериментальные данные из таблицы 1 и проведём предварительную обработку экспериментальных данных (все результаты предварительной обработки экспериментальных данных следует вносить в таблицу 3).

Нормированные значения для РСП рассчитаем по уравнению (6):

, .

Например, для опыта № 2 ( ): .

Натуральные значения для РСП рассчитаем по уравнению (7) и данным таблицы 2:

, , , .

Например, для опыта № 2 ( ): .

3.1. Методика эксперимента. Для повышения точности варьируемый фактор ( ) ‑ температура воздуха поддерживалась на требуемом уровне с точностью С. Другие факторы ‑ объёмный расход и влажность воздуха, линейная скорость обдува зерна воздухом во время всего эксперимента поддерживались на фиксированных уровнях. Требуемая влажность зерна  %. Если влажность становилась больше 14 %, то скорость конвейерной ленты увеличивалась, если влажность становилась меньше 14 %, то скорость уменьшалась. Каждые 2 ч по счетчику электроэнергии с относительной погрешностью 0.1 % определялась величина электроэнергии, затраченной на сушку зерна. За этот же период времени с относительной погрешностью 0.1 %. измерялась масса высушенного зерна. Параметр определялся как отношение затраченной электроэнергии (кВтч) за 2 часа к массе высушенного зерна (т) за этот же период. За одну смену (8 ч) при заданной температуре теплоносителя параметр  определялся 4 раза (число дублей . Полностью зависимость параметра от температуры теплоносителя определялась за 5 дней ( ) при температурах теплоносителя 60, 75, 90, 105 и 120 С.

Таблица 3. – Матрица планирования на базе РСП для ,

и результаты предварительной обработки данных

N			Yj1,кВтч/т	Yj2,кВтч/т	Yj3,кВтч/т	Yj4,кВтч/т
1	-1.0	60	73.5	75.3	73.5	74.1	74.10	0.7200
2	-0.5	75	60.4	60.2	63.7	61.5	61.45	2.5767
3	0.0	90	55.4	59.0	58.8	54.8	57.00	4.8800
4	0.5	105	54.8	55.5	54.3	51.9	54.13	2.4425
5	1.0	120	59.7	62.5	57.9	57.8	59.48	4.8292
					;