Анализ множественной корреляции. Множественный регрессионный анализ

Очень часто результирующие признаки бывают связаны более чем с 1 факторным признаком. В этом случае возникает задача количественной оценки степени влияния каждого из факторов на результирующий признак и задача формализации или математического описания этой связи

Для анализа степени влияния каждого из факторов на результирующий признак принято использовать частные и множественные коэффициенты корреляции.

Данные коэффициенты корреляции принято рассчитывать с использованием обычных парных коэффициентов корреляции которые представляются в виде корреляционной матрицы

Кроме частных коэффициентов принято рассчитывать множественной коэфиициент корреляции представляющий собой меру линейной связи

После расчета множественных и частных коэффициентов корреляции проводят формализацию связей путем построения множественного уравнения регрессии

Выявление основной тенденции в рядах динамики позволяет установить закономерность в развитии того или иного явления, а также описать эту закономерность в виде зависимостей уровней ряда динамики от времени. Процедура выявления основной тенденции в рядах динамики, статистики называется выравниванием ряда динамики.

Выравнивание рядов динамики условно можно разделить на качественное и количественное (аналитическое).

Моменты (интервалы) времени t	Значение показателя y
T1	Y1
T2	Y2
T3	Y3
T4	Y4
……….	……
tn	Tn

К качественным методам рядов динамики относят

1. Метод укрупнения интервалов – исходный ряд динамики преобразуют, объединяя одинаковое количество соседних интервалов. Новые уровни ряда получаются суммированием соответствующих уровней исходного ряда. Данный способ применим только к ИНТЕРВАЛЬНЫМ РЯДАМ.

2. Выравнивание с помощью скользящей средней – берется определенное количество моментов (периодов времени) (обычно нечетное) и определяются средние значения уровней ряда для этих моментов

M (3,5,7)

Y^’_n= Метод укрупнения интервалов и метод скользящей средней позволяют выявить основную тенденцию только на качественном уровне. Более объективным является подход основанный на описании основной тенденции (тренда) в виде следующей функции

Y=F(T)

Выбор вида этой функции осуществляет исследователь на основе применения качественных методов.

Наиболее часто применяются следующие виды функций

ЛИНЕЙНЫЕ

Y=b₀+b₁+t

КВАДРАТИЧНАЯ

Y=b₀+b₁t+b₂t

ПОЛИНОМИНАЛЬНАЯ

Y=b₀+b₁t+b₂t²….+b_ntⁿ

CТЕПЕННАЯ

Y=b₀t^b1

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ

Y=b₀+(b₁/t)

Задачей аналитического выравнивания является определение неизвестных параметров выбранного уравнения тренда.

Неизвестные коэффициенты уравнения тренда определяют с использованием метода наименьших квадратов

Y=b₀+b₁t

F(b₀, b₁) = ∑(y- b₀- b₁t)MIN

= n b₀+ b₁∑t=∑y

= b₀ ∑t+ b₁∑t²=∑yt

b₀= -b₁

b₁=

	Год	Ввод жилья в РФ
	2000	58,4
	2001	59,6
Т=0	2002	62,3
	2003	62,7
	2004	64,9

Уровень стоящий в середине ряда динамики t=0

Все что выше t=-1, t=-2

Все что ниже t=1, t=2

Сумма Т=0

Если количество уровней четно, то моменты времени кодируют следующим образом

-5

-3

-1 – срединное значение

+1 – срединное значение

+3

+5

И в этом случае сумма Т=0

Для тренда не являющегося ….Определение коэффициентов проводится также по методу наименьших квадратов

Y=b₀+b₁t+ b₁t²

F(b₀, b₁) = ∑(y- b₀- b₁t-b₁t²) MIN

= n b₀+ b₁∑t+ b₂∑t² =∑y

= b₀ ∑t+ b₁∑t²+ b₂∑t³ =∑yt

= b₀ ∑t²+ b₁∑t³+ b₂∑t⁴ =∑yt²

Если уровни ряда перекодированы соответствующим образом то система нормальных уравнений преобразуется

= n b₀+ b₂∑t² =∑y

= b₁∑t²+ =∑yt

= b₀ ∑t² + b₂∑t⁴ =∑yt²

Год	Ввод жилья в РФ	Перекодируем	Yt	T*T
2000	58,4	-2	-116,8	4
2001	59,6	-1	-59,6	1
2002	62,3	0	0	0
2003	62,7	1	62,7	1
2004	64,9	2	129,8	4
	307,9	0	16,1	10

B₁=16,1/10=1,61

B₂=61,6

Y=61,6+1,61t

Полученное уравнение тренда принято использовать для решения задачи прогнозирования на определенное число шагов вперед. Прогноз принято давать в точечной и интервальной форме.

Точечный прогноз - t=t_n+k

K – шаг прогнозирования + интервал

Для построения доверительных интервалов прогноза осуществляются следующие действия

1. Определяются так называемые выровненные (сглаженные) уровни динамического ряда подстановкой соответствующих t в модели. Y^

2. По фактическим и сглаженным уровням динамического ряда определяется величина дисперсии случайной составляющей (дисперсия ошибок) S₀²=

m – количество коэффициентов уравнении тренда

n – общее количество уровней динамического ряда

S₀²= = 0,3

3. Рассчитываются доверительные интервалы прогноза на k-шагов в перед

Y(t)+-t_p(n—m)S₀

Критическая граница распределения Стьюдента с n-m степенями свободы соответствующая уровню значимости р

Прогнозируемое значение показателя будет содержаться в этом интервале

Вне зависимости от формы тренда необходимо оценивать его способность адекватно описывать имеющуюся в ряду тенденцию. Оценка адекватности тренда осуществляется с использованием критерия Фишера рассчитываемый по формуле

F=

= -

Значение критерия Фишера сравнивается с критической границей распределения Фишера при уровне значимости р и числе степеней свободы n-1 и n-m

Если выполняется условие

F>F_{p(n-1, n-m)} то уравнение тренда признается значимым т.е оно адекватно отражает имеющуюся тенденцию. В случае если выбор тренда затруднен то окончательное предпочтение отдается такому уравнению тренда которое является наиболее адекватным. Среди уравнений тренда выбирается то для которого критерий Фишера является наибольшим