1.3. Інтегрування раціональних функцій

Будемо розглядати раціональні дроби з дійсними коефіцієнтами. Незвідні многочлени будемо розглядати над полем дійсних чисел.

Визначення 1.3. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менша за степінь знаменника.

До найпростіших раціональних дробів відносяться раціональні дроби вигляду

і ,

де тричлен у знаменнику другого дробу незвідний, тобто його дискримінант від’ємний.

Із курсу алгебри відома наступна теорема.

Теорема 1.4. Будь-який правильний раціональний дріб можна єдиним чином розкласти в суму найпростіших раціональних дробів, тобто

,

де , .

Для отримання відповідного розкладу правильного раціонального

дробу в суму найпростіших діють за наступним алгоритмом.

Крок 1. Знаменник дробу розкладають на незвідні (над полем дійсних чисел) множники.

Крок 2. Дріб формально розкладають в суму найпростіших дробів за формулою теореми 1.4. При цьому записують в чисельниках усіх дробів невизначені коефіцієнти, для отримання значень яких використовують метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод полягає в наступному:

1. праву частину зводять до спільного знаменника;

2. розглядаючи чисельники даної і отриманої дробів, прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях змінної ;

3. одержують систему лінійних рівнянь, розв’язуючи яку, знаходять значення невизначених коефіцієнтів.

Якщо дріб неправильний, то попередньо виділяють в ньому цілу частину.

Кожна з найпростіших дробів інтегрується з використанням формул 2., 3. таблиці інтегралів, властивості 6⁰, а також на основі прикладу 8 (і зауваження до нього), наведеного в методі підстановки.

Теорема 1.5. Будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функціях.

Наведемо приклади.

1. (№Д1868) Обчислити інтеграл .

Підінтегральний раціональний дріб є неправильним, тому спочатку виділимо цілу частину, поділивши чисельник на знаменник стовпчиком:

_ x^10+0x^9+0x^8+ 0x^7+0x^6+ 0x^5+ 0x^4+ 0x^3+ 0x^2+0x+0

x^2+x - 2

x^10+ x^9-2x^8

x^8- x^7+3x^6 - 5x^5+11x^4-21x^3+

_ - x^9+2x^8+0x^7

+43x^2-85x+171

- x^9- x^8+2x^7

_ 3x^8- 2x^7+0x^6

3x^8+3x^7- 6x^6

_ -5x^7+6x^6+ 0x^5

-5x^7- 5x^6+10x^5

_11x^6- 10x^5+ 0x^4

11x^6+11x^5- 22x^4

_ -21x^5+22x^4+ 0x^3

-21x^5- 21x^4+42x^3

_ 43x^4- 42x^3+ 0x^2

43x^4+43x^3- 86x^2

_ -85x^3+86x^2+ 0 x

-85x^3- 85x^2+170x

_ 171x^2- 170x+0

171x^2+171x-342

-341x+342

Звідки отримаємо

Тепер розглянемо підінтегральну функцію в останньому інтегралі і розкладемо цей дріб на найпростіші

Обчислимо невідомі коефіцієнти методом невизначених коефіцієнтів:

Звідки одержимо

.

Об’єднуючи разом усі отримані результати маємо:

.

2. (№Д1879) Обчислити інтеграл .

Підінтегральний дріб є правильним, розкладемо його на найпростіші

.

Коефіцієнти обчислюємо за методом невизначених коефіцієнтів

Таким чином, отримаємо

.

3. (№Д1888) Обчислити інтеграл .

Підінтегральний дріб правильний. Розкладемо його знаменник на незвідні множники. Раціональні корені многочлену можуть бути або або . Підставляючи ці числа в многочлен отримаємо, що таким коренем є число . Поділимо даний многочлен на . Ділення можна здійснити „стовпчиком”, як в прикладі 1, але в цьому прикладі простіше застосувати схему Горнера

	1	-1	1	-1	1	-1
1	1	0	1	0	1	0

Таким чином, результат ділення можна записати так:

.

Для розкладу многочлена четвертого степеня на множники зробимо такі елементарні перетворення

В результаті маємо дріб

,

який підлягає розкладу в найпростіші:

.

Після застосування методу невизначених коефіцієнтів одержимо , , тому

.