3. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления.

C L

Рассмотрим другой пример свободной колебательной системы, когда сам процесс колебаний непосредственно не наблюдается (нужны дополнительные приборы). В цепи, содержащей индуктивность L и емкость С, могут возникать электрические колебания (это электрический ток в катушке индуктивности, заряд и напряжение на пластинах конденсатора. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром или LC - контуром. Каким же образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания. При разряде конденсатора электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в энергию магнитного поля катушки индуктивности . Этот процесс закончится, когда C полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума. Теперь ток начнет убывать, не меняя при этом своего направления. Этот ток поддерживается ЭДС самоиндукции и начнется перезарядка конденсатора. Напряжение на конденсаторе U_c будет увеличиваться , а ток I через индуктивность L - уменьшаться. При достижении максимального I станет равным 0 и вся энергия контура вновь сосредоточится в конденсаторе. Теперь процесс повторится, но уже при противоположном направлении тока I. Если бы не было потерь на джоулево тепло при протекании тока по проводам и катушке, а также потерь энергии на излучение электромагнитных волн, колебания в контуре продолжались бы неограниченно долго, т.е. в контуре будут совершаться периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяется заряд на обкладках конденсатора С, U на нем и I через индуктивность L. Колебания сопровождаются взаимным превращением энергии электрического и магнитного полей. В начальный момент времени (t=0) полная энергия контура W сосредоточена электрическом поле конденсатора W_с=CU²/2=q²/2С , через время, равное четверти периода (t=T/4) полная энергия сосредоточена уже в магнитном поле катушки индуктивности W_L=LI²/2 и т.д.

Можно провести аналогию между электрическими колебаниями и механическими колебаниями математического маятника (см. рис. ниже).

Обозначения на рисунке: Е – кинетическая энергия; П – потенциальная энергия

Q – заряд на конденсаторе; W – полная энергия колебательного контура

Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления R. Для удобства сравнения с колебаниями пружинного маятника условимся считать (+) I, заряжающий емкость C.

Закон Ома для участка цепи с : ; , поскольку IR=0 (т.к.R=0)

Введя обозначение , получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре.

Из теории дифференциальных уравнений известно, решением полученного диф. ур - я является уравнение вида , где - собственная частота контура. Итак, поскольку циклическая частота и период колебаний взаимосвязаны , можно получить формулу для периода собственных электрических колебаний в LC –контуре, получившей название формулы Томсона.

Изменение напряжения на конденсаторе также осуществляется по гармоническому закону

Изменение тока в цепи также оказывается гармоническим колебанием. Действительно,

Итак, . Индексом m в формулах обозначены амплитудные (т.е., максимальные) значения заряда, напряжения и тока. Видим, что при q и U достигающих максимальных значений ток становится равным нулю I=0 и наоборот. Это соотношение было нами уже установлено, исходя из энергетических соображений.