- •1. Комплексные числа
- •2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- •3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •4. Комплексной функции комплексного переменного
- •5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- •6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- •7. Предел комплексных функций
- •8.Непрерывность комплексных функций
- •9. Моногенность комплексных функций
- •10. Производная
- •11. Аналитические функции
- •12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •13. Конформные отображения
- •14. Линейная функция
- •15. Степенная функция с натуральным показателем
- •16. Показательная функция
- •17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- •18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- •19. Гиперболические функции комплексного переменного
- •20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- •21. Обратные тригонометрические функции
- •22. Интегрирование комплексных функций
- •Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- •23. Теорема Коши для односвязной области
- •24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- •25. Теорема Коши для многосвязной области
- •26. Формула Коши
- •27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- •30. Числовые комплексные ряды
- •31. Функциональные комплексные ряды
- •32. Степенные комплексные ряды
- •33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора
24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
Определение 5.7.
Аналитическая в области функция называется первообразной функции в , если для всех .
Если - первообразная функции в области , тогда, очевидно, функция - также первообразная функции при любом постоянном .
В самом деле
т.е. функция - первообразная функции .
Покажем, что других первообразных функция не имеет, т.е. любая первообразная имеет вид Пусть - любая первообразная функции отличная от . Тогда - функция аналитическая в области как разность двух аналитических функций.
Имеем далее
Выделим действительную и мнимую части функции
и тогда
(Смотри определение производной и систему Коши-Римана).
Из последнего равенства имеем в области
откуда вытекает в области , .т.е.
Значит, , что и требовалось доказать. Таким образом, совокупность всех первообразных функции в области выражается формулой , где - некоторая первообразная функции , и - комплексная постоянная.
Пусть - односвязная область и спрямляемая простая дуга, лежащая в . Интеграл по дуге от аналитической в функции по следствию из теоремы Коши для односвязной области не зависит от пути интегрирования.
Также, как упомянутое следствие, доказывается следующее утверждение.
Комплексный интеграл от непрерывной в односвязной области функции также не зависит от пути интегрирования, если интеграл от вдоль любой спрямляемой кривой, лежащей в , равен нулю. Для интеграла, не зависящего от пути интегрирования, естественно ограничиться указанием вместо пути интегрирования только его начала и конца , полагая
Теорема 5.2.
Пусть функция непрерывна в односвязной области и пусть интеграл от по любой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю. Тогда функция
есть первообразная функции в области .
Доказательство. Покажем, что в
Имеем
при этом будем предполагать, что интегрирование ведется по отрезку прямой, соединяющей точки и . Такое предположение можно ввести, так как по условию интеграл не зависит от пути интегрирования.
Для того, чтобы доказать, что
изучим модуль разности
.
В силу непрерывности функции в точке для любого , если . Поэтому при , а значит будем иметь
(Смотри свойство комплексного интеграла, содержащее в себе неравенство; в нашем случае длина кривой интегрирования - это длина отрезка соединяющего точки и . Эта длина равна ).
Итак, имеем при что равносильно
Теорема доказана.
Следствие.
Если функция аналитическая в односвязной области , то функция
является первообразной для функции в области .
В самом деле, по теореме Коши для односвязной области для замкнутой кривой , тогда из теоремы вытекает утверждение следствия.
Теорема 5.3.
Если аналитична в односвязной области , то
где - любая первообразная функции в области .
Доказательство.
Как нами показано, функция
является первообразной для функции , а любая другая первообразная имеет вид
Полагая здесь имеем и тогда
что и требовалось доказать.
Замечание.
Пусть - многосвязная область и - аналитическая функция в . Если интеграл от по каждой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю, то к интегралу
можно применить все сказанное выше в этом пункте. Мы получим, что функции аналитична в , , , где - любая первообразная функции в . Если в многосвязной области существует хотя бы одна спрямляемая замкнутая кривая , для которой то для двух простых дуг, соединяющих c , значения интеграла от , вообще говоря, не будут равны и функция будет многозначной и говорить о ее производной не имеет смысла.