- •1 Дифференциальное уравнение (ду) первого порядка, его решения (частные и общее).
- •4) Ду типа Бернулли
- •1) Сведение к линейному уравнению заменой
- •4 Ду второго порядка, частные и общие решения. Задача Коши, её геометрическая интерпретация.
- •5 Решение ду высших порядков (2го порядка)
- •Однородное уравнение относительно .
- •Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.
- •6 ) Используя формулы
- •7 Свойства решений лду н-ого порядка.
- •Однородного
- •Неоднородного
- •8 Определение линейно зависимых и независимых систем функций на промежутке
- •9 Формула Остроградского-Лиувилля и её следствия
- •11 Метод вариации произвольных постоянных для неоднороного лду второго порядка.
- •12 Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного лду для правой части специального вида.
4) Ду типа Бернулли
Если n = 1, то это – уравнение с разделяющимися переменными, если n = 0, то это – линейное уравнение.
Заметим, что при n > 0 - решение уравнения.
Способы решения
1) Сведение к линейному уравнению заменой
Разделим обе части уравнения на ,
Получили линейное уравнение относительно .
Этот метод применяется редко, так как уравнение Бернулли можно решать теми же методами, что и линейное уравнение, не приводя его предварительно к линейному.
2)Решение методом подстановки.
Полагаем , подставляем в исходное уравнение
.
Точно так же, как при решении линейного уравнения, решаем, например, уравнение . Подставляем полученную функцию, решаем «оставшееся» уравнение с разделяющимися переменными .
Заметим, что оно получилось точно таким же, как в методе вариации. Поэтому вторая функция в методе подстановки и есть та самая варьируемая постоянная. Затем записываем решение .
Видим, что метод вариации и метод подстановки, фактически, один и тот же метод. Просто в методе подстановки с самого начала используется то, что решение представляется в виде произведения двух функций независимой переменной.
4 Ду второго порядка, частные и общие решения. Задача Коши, её геометрическая интерпретация.
Геом интерпретация задачи Коши для ДУ 2-го порядка [ y" = f ( x , y, y' ), y(xo) = yo, y' (xo) = y1 ]: Найти интегральную кривую дифф уравнения y" = f ( x, y, y' ) , проходящую через данную точку Mo(xo; yo) и имеющую в данной точке заданный угловой коэффициент касательной k = y1.
5 Решение ду высших порядков (2го порядка)
Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.
.
F(x, y’, y”)=0
Уравнение не содержит явно y , его вид или .
Здесь применяется подстановка - вводится новая функция старой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка .
3) F(y, y’, y”)=0
Уравнение не содержит явно x , его вид или .
Здесь применяется подстановка - вводится новая функция новой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка .
Однородное уравнение относительно .
Уравнение называется однородным относительно , если при замене уравнение не изменится.
Здесь применяется подстановка .
Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.
Пример. .
Запишем уравнение в виде
6 ) Используя формулы
6 ЛДУ н-го порядка, однородные и неоднородные.
Линейное однородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде
.