РГР Дифуры [13 вариант]
.pdf5 _ 01_13
2x dx−2 y dy = x2 y dy−2xy2 dx− уравнениес разделяющимися переменными
(2 + 2 y2 )x dx = (x2 + 2) y dy
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x dx |
= |
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y dy |
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x2 |
+ 2 |
2 |
+ 2 y2 |
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|||||||||||
∫ |
|
x dx |
= |
∫ |
|
y dy |
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||||||
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x |
2 |
+ |
2 |
|
2 |
+ 2 y |
2 |
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|||||
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ln(2 + x2 ) |
= |
ln(1 + y2 ) |
+C |
||||||||||||
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2 |
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4 |
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|||
ln(2 + x2 ) |
− |
ln(1 + y2 ) |
= C |
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2 |
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4 |
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5 _ 02 _13 |
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y′ = |
y2 |
|
y |
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||
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+ |
6 |
|
+6 −однородноедифференциальное уравнение |
||
x2 |
x |
|||||
y / x = u y ' = u ' x +u |
||||||
u ' x +u = u2 +6u +6 |
|
|||||
du x = u2 |
+5u +6 − уравнениес разделяющимися переменными |
|||||
dx |
|
|
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|
||
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du |
= dx |
|||
u2 +5u +(2.5)2 −0.25 |
x |
∫ |
|
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du |
|
|
= ∫dx |
u |
2 |
+5u +(2.5) |
2 |
−0.25 |
|||||||
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x |
||||||||
ln |
2 |
+u |
|
= ln x +ln C |
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||||||
|
+u |
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|||||||||
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3 |
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|||||
2 +u |
= Cx |
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|||||||
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||||||||
3 +u |
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||||||
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2x + y |
|
= C |
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|||||
(3x + y)x |
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||||||||
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5 _ 03 _13
y′ = 2x +3y −5 5x −5
x = v +1 |
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|||
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y = u +1 |
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|||
u ' = |
2v + 2 +3u +3 −5 |
|
||||
|
5v +5 −5 |
|||||
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|
|||||
u ' = |
2 +3u / v |
−однородноедифференциальное уравнение |
||||
|
|
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||||
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5 |
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z = u / v u ' = z + z 'v |
||||||
z + z 'v |
= |
2 +3z |
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|||
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||||||
|
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5 |
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|
dz v = 2 −2z |
− уравнениес разделяющимися переменными |
|||||
dv |
5 |
|
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||
5 dz |
= dv |
|
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|
||
2(1 − z) |
|
v |
|
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|
52 ln(1 − z) +ln v = C
52 ln(v −u) − 32 ln v = C (v −v3u)5 = C '
(x − y)5 = C ' (x −1)3
5 _ 04 _13 |
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|||||
y′ |
− |
y |
= −2 |
ln x |
− уравнение Бернулли |
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|||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
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|||||||||||||||||
y (1)=1 |
|
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||||
y = uv y ' = u 'v +uv ' |
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|||||||||||||
u 'v +uv |
'− uv = −2 ln x |
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||||||||||||
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|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|||
u 'v +u(v '− |
v |
) |
= −2 ln x |
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||||||||||
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|||||||||||||
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|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
||
v '−v / x = 0 |
|
dv |
= dx |
|
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|
v = x |
|
|
|
v = x |
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|||||||||||||||
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|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
|
(1) |
|
|
2 |
|
|||
|
'v = −2 |
v |
|
|
|
ln x |
|
ln x |
|
+ |
|||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
u ' = −2 |
|
2 |
|
u = |
|
|||||||||
|
|
|
|
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|
|
x |
|
u |
'v = −2 |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
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|
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||
y = uv = 2 + 2 ln x +Cx |
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||||||||||||||||
y(1) =1 C = −1 |
|
|
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||||||||||
y = 2 + 2 ln x − x − решение задачи Коши |
|
|
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||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
ln x |
|
|
|
|
∫ |
ln x |
|
|
|
dv = dx/ x2 |
|
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|
|
|
−ln |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
(1) |
−2 |
dx |
= −2 |
dx |
= |
v = −1/ x |
|
|
= −2 |
||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
u = ln x; du = dx/ x |
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|||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−ln x |
− |
1 |
|
|
= |
2 |
+ |
2 ln x |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= −2 |
|
|
x |
|
x |
+C |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 lnx x +C
x |
+ ∫ |
1 |
|
= |
|
|
|
|
dx |
||
|
x |
2 |
|||
|
|
|
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5 |
_ 05 _13 |
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2 (x + y4 )y′ = y, y |
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x=−2 = −1 |
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|||||||||
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|||||||||
x'y −2x / y = 2 y3 |
|
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|||
x = uv x ' = u 'v +uv ' |
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|||||||
u 'v +uv '−2uv / y = 2 y3 |
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|
|||||||
u 'v +u(v '−2v / y) = 2 y3 |
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|||||||
v ' = 2v / y |
|
dv |
= |
|
|
2 dy |
(1) v = y2 |
||
|
|
|
|
y |
|
||||
|
u 'v = 2 y3 |
v |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
u ' = 2 y |
|
|
|
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|
|
2 y |
|
|||
|
|
|
u 'v = |
|
|
||||
x = uv = y4 |
+Cy2 |
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|
y x=−2 = −1 C = −3
|
2 |
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v = y |
|
|
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|
|
u = y2 |
+C |
|
|
|
|
x = y4 −3y2
(1) dvv = 2 dyy ∫dvv = ∫2 dyy ln v = 2 ln y ln v = ln y2 v = y2