§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты

перемножаемых векторов

Определение. Матрицей Грама системы векторов

(6.9)

евклидова пространства называется матрица , где .

Нетрудно показать, что в случае действительного пространства матрица Г симметричная и все ее главные миноры положительны. Если же пространство комплексное, то , т. е.

. (6.10)

Определение. Комплексная квадратная матрица Г, удовлетворяющая условию (6.10) называется эрмитовой.

Таким образом, матрица Грама любой системы векторов комплексного евклидова пространства является эрмитовой. Кроме того, можно также показать, что все ее главные миноры положительны.

В частности, матрицу Грама можно определить и для произвольного базиса. Очевидно, для ортонормированности базиса необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама была единичной.

Выберем в какой-либо базис

(6.11)

и обозначим его матрицу Грама. Выберем также произвольные векторы пространства . Тогда

–

координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве;

–

координатная форма записи скалярного произведения в действительном пространстве. Так как , то

–

матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве;

–

в действительном пространстве.

В ортонормированном базисе скалярное произведение вычисляется так:

–

координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве;

–

в действительном пространстве;

– (6.12)

матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве;

–

в действительном пространстве.

Изменение матриц Грама при изменении базиса

Пусть в пространстве наряду с базисом (6.11) задан базис

, (6.13)

и – матрицы Грама базисов (6.11) и (6.13) соответственно, – матрица перехода от (6.11) к (6.13). Тогда

,

откуда по правилу цепочки получаем

–

закон изменения матрицы Грама при изменении базиса в комплексном евклидовом пространстве;

–

в действительном евклидовом пространстве (это обычный закон изменения матрицы билинейной формы).

§ 7. Некоторые свойства матрицы Грама

Теорема 6.5. Определитель матрицы Грама произвольной системы векторов

(6.14)

евклидова пространства есть число неотрицательное. При этом он равен нулю в том и только в том случае, когда система (6.14) линейно зависима.

►Обозначим . На основании теоремы 3.5, – подпространство пространства . Если , то . Выберем в какой-либо ортонормированный базис

, (6.15)

каждый из векторов системы (6.14) разложим по этому базису ( ) и обозначим, как обычно, – координатный столбец вектора в базисе (6.15), а – матрицу, составленную из координатных столбцов векторов . Если – матрица Грама системы (6.14), то

=

. (6.16)

Тогда

{(6.14) линейно независима} [теорема 3.5 и § 3 гл. 3]

[(6.16)] { };

{(6.14) линейно зависима}

{ }.◄

Следствие. Пусть . Тогда

Таким образом, мы получили еще одно доказательство неравенства Коши – Буняковского. Из этого доказательства очень хорошо видно, что в неравенстве Коши – Буняковского знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Отметим еще одно интересное свойство матрицы Грама. Выберем в трехмерном евклидовом пространстве два неколлинеарных вектора и и обозначим угол между ними. Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, находится так:

.