Мы разложили вектор по координатным осям: а
а= ОА1+ОА2. (12)
Векторы ОА1 и ОА2 называются составляющими вектора по осям Ох и Оу соответственно. а
Каждая из этих составляющих имеет свою координату на соответствующей оси. Эти координаты обозначаем ах и ау . Поскольку ОА1=ахi и ОА2=ауj, то, подставляя эти равенства в формулу (12), получаем представление вектора а:
а= ахi+ауj. (13)
В пункте 1.11 показано, что число ах – это координата точки А1 на оси х. Аналогично, число ау - координата точки А2 на оси у. Следовательно, пара чисел (ах, ау) – это координаты точки А.
Ясно, что если вектор коллинеарен вектору аi, то точка А лежит на оси х, а= ахiаи ау=0 (рис.1.47,а). Аналогично, если вектор а коллинеарен вектору , то ах=0 и j= ау(рис.1.47,б). Равенство (13) установлено для всех случаев. j
а) б)
Рис.1.47
Полученная пара чисел (ах, ау) называется координатами вектора в заданной системе координат. Она же является координатами точки А – конца вектора ааОА=.
Последнее утверждение позволяет по каждой упорядоченной паре чисел (ах, ау) построить вектор , координатами которого в заданной системе прямоугольных координат хОу будут числа ах , ау. Для этого достаточно в этой системе координат построить точку А с координатами ах , ау и взять вектор аОА. Его координатами и будут числа ах , ау.
В заданной системе координаты вектора определяются единственным образом.
1 Действительно, допустим, что вектор а, кроме равенства (13) может быть представлен равенством
а= ах*+ау*ij. (14)
Из равенств (3) и (4) следует, что ахi+ауj= ах*i+ау*j, а потому
(ах - ах*)=(ау* - ау) ij. (15)
Один и тот же вектор, стоящий в левой и правой частях равенства (15) коллинеарен одновременно и вектору , и вектору ij. Коллинеарным одновременно двум единичным взаимно перпендикулярным векторам может быть лишь нулевой вектор. Поэтому и слева, и справа в равенстве (15) стоит нулевой вектор, т.е. ах* =ах и ау* =ау. Единственность координатного представления вектора доказана.g
Проведенные рассуждения подытожим в виде следующей теоремы:
Теорема (о координатах вектора на плоскости). Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с единичными векторами i и j координатных осей х и у. Тогда любой вектор аплоскости хОу может быть представлен в виде =ах+ауаij,
и притом единственным образом. Если вектор аотложен от начала координат, то его координаты равны соответственно координатам его конца.
Еще раз вернемся к рисунку 1.46. Из теоремы Пифагора следует, что ОА2=ОА12+ОА22. Поскольку ОА=ll, ОА1=lахl и ОА2=lауl, то а
ll2=ах2+ау2, (16) а
т.е. квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его координат.
Как найти координатное разложение вектора а=АВ, если известны координаты начала и конца этого вектора: А(хА, уА) и В(хВ, уВ) (рис.1.48)?
Рис.1.48
По определению координаты вектора равны коэффициентам при векторах iи jв равенстве (13). Так как
АВ=ОВ - ОА= хВ+ уВ-( хАiji+ уАj)= (хВ - хА )i+( уВ - уА)j,
то координата составляющей на оси х - число ах=хВ-хА. , а координата составляющей на оси у - число ау=уВ-уА..
Итак, чтобы найти координаты вектора нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора:
ах=хВ-хА , ау=уВ-уА . (17)
Направление
вектора в пространстве определяется
углами
,
которые вектор образует с осями координат
(рис. 12). Косинусы этих углов называются
направляющими
косинусами вектора:
,
,
.
Рис. 12
Из
свойств проекций:
,
,
.
Следовательно,
,
,
. (2.5)
Легко показать, что
1)
;
2)
координаты любого единичного вектора
совпадают с его направляющими косинусами:
.