- •События, их виды и действия с ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое и статистическое определения вероятности. Свойства вероятности. Классическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности.
- •Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
- •Теоремы сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей.
- •4. Независимость событий. Условные вероятности. Теоремы об умножениях вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность
- •Независимость событий
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности.
- •6. Схема и формула Бернулли.
- •7. Понятия случайной величины.
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения:
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •8. Математическое ожидание св и его свойства.
- •Дисперсия и ее свойства. Стандартное отклонение.
- •Свойства дисперсии:
- •10. Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Распределение Пуассона. Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •11. Непрерывная случайная величина
- •Свойства функции распределения:
- •Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •Свойства плотности распределения вероятностей:
- •13. Равномерный закон распределения
- •Понятие многомерной (векторной) св и ее закон, функция и плотность распределения. Условные математические ожидания и дисперсии. Многомерные случайные величины
- •Зависимые св. Ковариация и коэффициент корреляции. Корреляционная матрица случайного вектора. Независимые случайные величины
- •Свойства независимых случайных величин
- •Ковариация
- •Линейный коэффициент корреляции
- •Нормальное распределение.
- •Центральная предельная теорема
- •Нормальное распределение(не википед)
- •18. Вероятность попадания св в заданный интервал .Вероятность заданного отклонения нормальной св.Правило 3 сигм.
- •Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.
- •19. Теоремы Муавра-Лапласа
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова и ее применение.
- •Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •Полигон и гистограмма.
- •Генеральная и выборочная средние, их свойства. Оценка генеральной средней по выборочной.
- •Генеральная и выборочная дисперсии, их свойства. Оценка генеральной дисперсии по выборочной. Исправленная дисперсия.
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
13. Равномерный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.
0 при х≤а,
f(х)= при a<х<b,
0 при х≥b .
График функции f(x) изображен на рис. 1
(рис. 1) (рис.2)
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:
0 при х≤а,
F(х)= при a<х≤b,
0 при х>b.
Ее график изображен на рис. 2.
Числовые характеристики случайной величины равномерно распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:
M(Х)= , D(X)= , σ(Х)= .
Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:
а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
б) функцию распределения F(x) и построить ее график;
в) M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:
0 при х<3,
а) f(х)= при 3≤х≤7,
0 при х>7
Построим ее график (рис.3):
рис.3
б) 0 при х≤3,
F(х)= при 3<х≤7,
1 при х>7 .
Построим ее график (рис.4):
рис.4
в) M(X) = = =5,
D(X) = = = ,
σ (Х) = = = .
Понятие многомерной (векторной) св и ее закон, функция и плотность распределения. Условные математические ожидания и дисперсии. Многомерные случайные величины
Многомерная случайная величина - это совокупность случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве .
Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины задаётся её функцией распределения
,
которая является числовой функцией многих переменных и (как вероятность) принимает значения на отрезке .
Функция распределения многомерной случайной величины обладает следующими свойствами.
для всех : ; (3.57)
не убывает по каждому аргументу; (3.58)
непрерывна слева по каждому аргументу; (3.59)
; (3.60)
. (3.61)
В отличие от одномерного случая, выполнение свойств (3.57) - (3.61) для некоторой функции не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторой многомерной случайной величины.
Многомерные случайные величины, так же, как и одномерные, могут быть дискретными (когда наборы возможных значений образуют конечное или счётное множество) или непрерывными (когда множество наборов возможных значений несчётно).
Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться двумерные случайные величины.
Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуоткрытый прямоугольник равна
(3.62)
.
Если дополнительно к условиям (3.57) - (3.61) потребовать от функции неотрицательности величины
для любых таких, что , то тогда эта функция обязательно будет являться функцией распределения некоторой двумерной случайной величины.
Двумерные дискретные случайные величины удобно задавать с помощью таблиц распределения
. (3.63)
В такой таблице заголовки столбцов соответствуют всем возможным значениям первой компоненты , а названия строк - всем возможным значениям второй компоненты . При этом в клетку, находящуюся в -й строке и в -м столбце, записывается значение вероятности . Естественно,
. (3.64)
Функция распределения двумерной дискретной случайной величины равна
. (3.65)
Законы распределения каждой из компонент такой двумерной случайной величины (так называемые маргинальные законы распределения) восстанавливаются по таблице распределения (3.63) при помощи формул
. (3.66)
Двумерная случайная величина называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения может быть представлена в виде
, (3.67)
при этом функция называется плотностью распределения двумерной случайной величины .
Плотность распределения абсолютно непрерывной двумерной случайной величины обладает следующими свойствами:
для всех : ; (3.68)
, (3.69)
причём любая функция, обладающая этими свойствами (3.68) - (3.69), является плотностью распределения некоторой абсолютно непрерывной двумерной случайной величины.
Если функция распределения абсолютно непрерывной двумерной случайной величины имеет смешанную частную производную , то плотность распределения равна этой частной производной:
. (3.70)
Если абсолютно непрерывная двумерная случайная величина имеет плотность , то одномерные случайные величины и также являются абсолютно непрерывными, и их плотности можно рассчитать по формулам
. (3.71)
Свойство (3.71) справедливо только для двумерных абсолютно непрерывных случайных величин. В случае это свойство выглядит существенно иначе.
Условное математическое ожидание
Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если — случайная величина и , то — тоже случайная величина, связанная с функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров ясно видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание, вычисленной по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.
Для двумерного дискретного случайного вектора с распределением
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
... |
|
условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение , вычисляется по формуле
.
Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение , равно
.