- •Глава 1. Элементы топологии. §1. Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества.
- •§2. Открытые множества. Понятие топологического пространства.
- •§3. Замкнутые множества. Замыкание.
- •§4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента.
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная к ривая. Замена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная п лоскость кривой.
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •§7. Вид кривой в подвижном репере
- •§8. Огибающая семейства плоских кривых.
- •Глава 3. Теория поверхностей §1. Понятие поверхности.
- •§2. Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§3. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь поверхности.
- •§4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.
- •§5. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя кривизна.
- •§6. Соприкасающийся параболоид к поверхности.
- •§7. Геодезические линии на поверхности.
- •§8. Теорема Гаусса-Бонне.
- •§ 9. Эйлерова характеристика поверхности.
- •Глава 4. Понятие многообразия
§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
Определение. П усть – регулярная кривая, P – любая точка, а Q– близкая к ней точка. Обозначим: – угол между касательными к кривой в точках Р и Q, s – длина дуги PQ. Если существует предел
lim;Q (P= k,
то эта величина называется кривизной кривой в точке Р. Другими словами,
кривизна кривой – это скорость поворота её касательной.
Теорема 4. Регулярная кривая класса С2 в каждой своей точке имеет кривизну. Если r;\s\up8(( = c(s) – уравнение кривой с естественным параметром, то k = |c; ··(s)|.
Доказательство. Пусть Р = c(s), Q = c(s + s), тогда векторы c; ·(s) и c; ·(s + s) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:
|c; ·(s + s) – c; ·(s)| = 2sin .
Отсюда
= = = · .
Перейдем здесь к пределу при s 0.
|c; ··(s)| = lim; Ds (0 ·lim; Ds (0= 1· k ,
т .к. при s 0 также 0. Что и требовалось доказать.
Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметром
k = = . (11)
Если кривая расположена на плоскости, то мы имеем c3 0. Поэтому получаем формулу для плоских кривых:
k = . (11)
(в данном случае mod означает числовой модуль).
Если кривая на плоскости задана уравнением в явном виде y=f(x), то мы можем переписать его в параметрическом виде
x = t, y=f(t).
Применим формулу (11):
k = .
Раскроем определитель и заменим обратно t на x. Окончательно получаем:
k = . (12)
Теорема 5. 1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.
2) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна k=ko= const>0, то это кривая – дуга окружности радиуса R =1/ ko .
Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть r;\s\up8((= c(s) – параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |c; ··(s)| 0 c; ··(s) o;\s\up8(–( . В развёрнутом виде получаем систему дифференциальных уравнений, и находим её решение:
где b1, b2, b3 – постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.
О пределение. Пусть некоторая кривая, Р – точка на ней, Q, R – близкие к ней точки; если при Q и R стремящихся к Р окружность стремится занять определенное положение o, то окружность o называется соприкасающейся окружностью к кривой в точке Р, а её центр O и радиус R называются центром и радиусом кривизны кривой в точке Р.
Примем без доказательства, что и o имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса R равна 1/R, то R = 1/k . Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.
О пределение. Пусть – некоторая кривая, Р – точка на ней, Q – близкая к Р точка, а – угол между соприкасающимися плоскостями в точках Р и Q, s – длина дуги РQ;. Если существует предел lim;Q(P , то он называется абсолютным кручением
кривой в точке Р и обозначается || (греческая буква “каппа”). То есть абсолютное кручение – это скорость поворота соприкасающейся плоскости.
При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р и Q .