Счетное множество

Бесконечное множество М= {a1, a2, a3, ….} называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы счетного множества можно занумеровать. Пример – множество четных чисел, множество нечетных чисел. Покажем, что счетным будет и множество целых чисел Z.

nN, zZ , z=[n/2](-1)ⁿ ([] – отбрасывание дробной части числа)

1↔0; 2↔1; 3↔-1; 4↔2; 5↔-2

Доказывается, что: 1)объединение конечного множества и счетного есть множество счетное; 2)объединение конечного числа счетных множеств есть множество счетное 3)объединение счетного числа счетных множеств есть множество счетное.

Способ нумерации счетного множества:

1 ) a1 a2 a3 … 2) 1 1 1 1 1…

b1 b2 b3… 1 1 1 1 1…

……… 1 1 1 1 1…

f1 f2 f3… 1 1 1 1 1…

Теорема: множество действительных чисел (0,1) несчетно.

Заметим, что некоторые числа этого интервала могут изображаться двумя способами:

½ = 0,50000000… и ½= 0,49999999… => все m_i ≠0 и все m_i ≠9

Предположим, что все числа (0,1) можно занумеровать:

1↔0, α₁, α₂, α₃, α₄,…

2↔0,β₁, β₂, β₃, β₄,…

3↔0,γ₁, γ₂, γ₃, γ₄,…, построим следующее число a(0,1) a=0,₁, ₂, ₃,…, где 0<d₁<9, 0<d₂<9, 0<d₃<9 … и d₁<> α₁ , d₂<> α₂, d₃<> α₃ и т.д.

a(0,1) но по построению это число не совпадает ни с одним из пронумерованных чисел, т.е. мы нашли число, которое не получило номера, что говорит о том, что множество точек (0,1) несчетно, а следовательно, несчетным будет множество действительных чисел плоскости, пространства.

Доказывается, что из всех бесконечных множеств самым малым по мощности является счетное множество, и если мы удалим из бесконечного множества счетное, то останется множество, эквивалентное данному, отсюда вытекает, что множество иррациональных чисел несчетно, т.к. это разность между всеми действительными и рациональными числами, т.е. I=R\Q.

Множество трансцидентных чисел – несчетное множество

Множества, эквивалентные множеству точек Î(0,1), называются множествами мощности континуума. Множества непрерывных функций, заданных на (0,1) имеют мощность континуума.

6. Понятие отношения. Свойства отношений. Отношение эквивалентности, отношение строгого порядка, отношение нестрогого порядка.

Определение. Подмножество называется местным ( мерным) отношением на множестве А. Говорят, что элементы находятся в отношении , если .

Одноместное (одномерное) отношение – это просто некоторое подмножество А. Такие отношения называют признаками. Говорят, что обладает признаком , если и . Свойства одноместных отношений – это свойства подмножеств А, поэтому для случая термин “отношения” употребляется редко.

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные или бинарные отношения. Если и находятся в отношении , это обычно записывается в виде .

Определение. Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента имеет место .

Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы.

Определение. Отношение называется антирефлексивным, если ни для какого элемента не выполняется .

Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только нули.

Определение. Отношение называется симметричным, если для любой пары из отношения следует . Иными словами, отношение является симметричным тогда и только тогда, когда для любой пары оно выполняется в обе стороны (или вовсе не выполняется).

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали: для любых .

Определение. Отношение называется антисимметричным, если из отношений и следует, что .

Определение. Отношение называется транзитивным, если для любых из отношений и следует .

Определение. Транзитивным замыканием отношения называется отношение, определяемое следующим образом: если в множестве существует цепочка из элементов , в которой между каждыми двумя соседними элементами выполняется отношение ( , то говорят, что существует транзитивное замыкание .

Определение. Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Определение 1. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Определение 2. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.