Задание для студентов на практическое №1 по теме
«Основы дифференциального исчисления. Нахождение производных функций. Графики функций»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме
Вопросы теории ( исходный уровень)
Введение. Содержание предмета. Инструктаж по технике безопасности.
Производная функции. Её физический и геометрический смысл. (таблица производных основных элементарных функций)
Описание скорости протекания биологических процессов с помощью производной.
Градиенты.
Производные высших порядков.
Частные производные.
(самостоятельная подготовка)
Содержание занятия:
1.ответить на вопросы по теме занятия
2.решить примеры
Примеры
Найти производные следующих функций:
1)
|
2)
|
3)
|
4) |
5) |
6) |
7) y = xa+b; |
8) |
9) |
10) y = (1 – 3x2)(1 – x)3; |
11) y = (2x – 1)(x2 – 1); |
12) y = (1 – 4x3)(1 + 2x2); |
13) |
14) |
15) |
16)
|
17) |
18) y = tg x – ctg x;
|
19) y = x – sin x;
|
20) y = loga x + ax;
|
21) |
22) y = ex cos x; |
23) y = sin x ln x; |
24) y = sin x cos x; |
25) y = x ln x;
|
26) |
27) |
28) y = 3 tg x ·ctg x;
|
29)
|
30) |
31) |
32) |
33) |
34) |
35) |
36) |
37) |
38) |
39) |
40) |
41) |
42) |
43) |
44) |
45) |
46) |
47) |
48) |
49) |
50) |
51) y = e3x;
|
52) y = cos 2x; |
53) y = sin2 x; |
54) y = sin x2; |
55) |
56) y = ln (x2 +1); |
57) |
58) y = esin x;
|
59) |
60) |
|
|
|
61) y = ln (ln x); |
62) |
63) y = sin(ln x); |
64) y = ln (cos x); |
65) y = (x2 – 3)5; |
66) |
67) |
68) |
69) y = ln (sin x + cos x); |
70) |
71) |
72) |
73) |
74) |
75) |
76) y = sin2 (3x2 +2x + 4); |
77) |
78) |
79) |
80) y = x2 · 3x+1; |
81) y = ln2 x · sin2x |
82) |
83) |
84) |
85) y = (x2 – 3)5 ln x;
|
86) |
87) |
88) |
89) y = ln x · tg x2;
|
90) |
91) y = ln x2 · sin2x;
|
92) |
93) |
94) y = (1 – x2)3 cos x+ 2 sin2 x |
95) |
96) |
97)
|
98) |
99) |
100) |
101) |
102) |
103) |
104) |
105) |
106) |
107) |
108) |
109) |
110) |
111) |
112) |
113) |
114) |
115) |
116) |
117) |
118) |
119) |
120) |
121) |
122) |
123) |
124) |
125) |
126) |
127)
|
128) |
129)
|
130) |
131) |
132) |
133)
|
134) |
135) |
136) |
137) |
138) |
139) |
140) |
141) |
142) |
|
|
Тема Основные понятия высшей математики
Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что
|y — A|<е, при | х —a|<δ
lim y= А
| х —a|→0
Основные теоремы о пределах.
Предел постоянной величины
limА=А.
Предел суммы (разности) конечного числа функций
lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) x→а x→а x→а x→а
Предел произведений конечного числа функций
lim [f(x) •φ(x) •ψ(x)]= lim f(x) • lim φ(x) • lim ψ(x)
x→а x→а x→а x→а
Предел частного двух функций:
lim [f(x) /φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0
x→а x→а x→а x→а
Производная.
Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:
ý=lim (Δy /Δx)
Δx →0
Производные некоторых функций :
у=С: |
ý= 0; |
y=x |
ý=1 |
у = хμ: |
ý=μxμ-1 |
у = аx: у = ех то |
ý=axlna; ý= еx; |
y=logax у = lпх |
ý=( logae)/x=1/(x lna) ý=1/x |
y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx. |
y'=cosx; ý = — sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x |
y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx |
ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2) |
y = v±u: |
y' = u'±v' |
y=uv |
y' = u'v + v'u. |
y=u/v: |
y' =( u'v- v'u)/ v2 |
y = f1(u), если u = f2(x), |
у'x = у'uu'x |
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
Приращение аргумента и функции. Пусть функция у=f(x) определена на некотором интервале, х0 и х – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х – х0 = х, откуда х = х0 + х, то есть значение аргумента х можно определить через х0 и его же приращение х.
Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: у = f = f(x0 +x) – f(x0).
Как видно из рис.1, приращение аргумента х изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции f – приращение ординаты этой точки.
Рис.1
Вычисление приращения любой функции у = f(x) удобно проводить по следующей схеме:
даем аргументу х приращение х и получаем точку х + х;
находим значение функции в точке х + х: f(x + x);
находим приращение функции: f = f(x + x) – f(x).
Понятие непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:
функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
предел приращения функции равен нулю при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть
Определение производной. Задача нахождения скорости процессов привела к введению в математику понятия производной функции.
Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение х, тогда функция получит приращение f:
Отношение
является функцией от х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале х, х+х.
Предел отношения f/x приращения функции f к приращению аргумента х, когда х стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .
Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):
В этом и состоит физический (в том числе механический) смысл производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.
По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.
Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение х. По значению аргумента х+х получаем новое значение функции f(x + x), соответствующее точке М(х +х; f(х + х)) на кривой. Проведем секущую ММ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через . Из рисунка следует, что f/x=tg. При х 0 точка М перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ поворачивается вокруг точки М, и величина угла изменяется. При приближении секущей ММ к касательной МТ угол приближается к углу и
Угловой коэффициент касательной
Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Рис. 2