Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.

(1),

где − функции от класса , , причем

Геометрический смысл УрЧП (1).

Пусть − векторное поле в , − решение УрЧП (1) класса (то есть − по определению интегральная поверхность УРЧП (1)). Тогда − нормаль к интегральной поверхности и УрЧП (1) имеет вид

Таким образом, задача нахождения всех решений класса УрЧП (1) сводится к нахождению всех поверхностей класса вида , касающихся в каждой точке векторного поля .

def: Характеристической УрЧП (1) называется траектория системы ОДУ

(2)

(то есть проекция графика решения системы (2) на подпространство параллельно оси )

def: Система (2) называется системой уравнений характеристики УрЧП (1). Ее симметричная запись имеет вид:

.

Первая лемма о характеристиках

Пусть − решение класса УрЧП (1), а − решения системы

Тогда линия

является характеристикой УрЧП (1)

Доказательство:

◄ Надо доказать только последнее равенство из (2), так как остальные равенства выполняются по условию. Имеем

,

так как − решение УрЧП (1) ►

Следствие:

Если точка лежит на интегральной поверхности вида класса УрЧП (1), то характеристика УрЧП (1), проходящая через эту точку, целиком лежит на этой поверхности (то есть интегральная поверхности УрЧП (1) состоит из характеристик).

Доказательство:

◄ По теореме о решения задачи Коши через точку проходит единственная характеристика , далее по первой лемме о характеристиках (в силу единственности), то есть лежит на поверхности ►

Вторая лемма о характеристиках

Пусть −некоторая поверхность класса , удовлетворяющая следующему условию: “Если точка принадлежит этой поверхности, то характеристика УрЧП (1), проходящая через эту точку, целиком лежит на этой поверхности”. Тогда поверхность является интегральной для УрЧП (1).

Доказательство:

◄ Пусть − характеристика УрЧП (1), проходящая через точку . Тогда

, ,

так как через каждую точку поверхности проходит характеристика, на этой поверхности эта поверхность интегральная для УрЧП (1). ►

Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.

Рассмотрим УрЧП

(1),

где − функции класса от в окрестности кривой

, ,

причем в этой окрестности.

Задача Коши состоит в нахождении поверхности класса , удовлетворяющей УрЧП (1) и содержащую кривую

Теорема:

1) Пусть − функции класса от определенные в окрестности

2)

3)

4) , где

Тогда существует окрестность кривой вида

(окрестности в плоскости ) и единственная функция класса , определенная в этой окрестности, являющаяся решением задачи Коши, определенной выше.

Доказательство:

◄ Идея доказательства состоит в том, что через каждую точку проведем характеристику и покажем, что получилась поверхность класса . Тогда по второй лемме о характеристиках эта поверхность будет интегральной для УрЧП (1).

1) Продолжим на интервал при достаточно малом так, чтобы продолжение функции (например линейным образом)

Считаем, что лежит в области определения и при

2) Через каждую точку проведем характеристику УрЧП (1) , , причем , , для некоторой точки . Положим:

3) По теореме о непрерывности и непрерывной дифференцируемости по начальным данным получим, что определено и

принадлежит на . Поскольку