- •II семестр – весенний семестр 2003 года
- •Необходимое и достаточное условия интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Интегралы как функции множества
- •Оценки интегралов
- •Интеграл как функция верхнего предела
- •Приложение определённого интеграла
- •Площади фигур
- •Условная сходимость
- •Ряды со знакопеременными членами
- •Действия над рядами
- •Функциональные ряды и последовательности
- •Признаки равномерной сходимости
- •Степенные ряды
- •Понятие о рядах Фурье
- •Функции нескольких переменных
- •Последовательности точек
- •Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Зависимость функций
Приложение определённого интеграла
Непрерывной кривой называется множество точек с координатами , для которых , , где и непрерывны на .
Кривая называется простой, если при разных значениях t получаются разные точки, т.е. для будет .
Кривая L называется параметризованной, если для неё и существует разбиение на каждом кривая будет простой.
Кривая называется гладкой, если на непрерывны и (т.е. кривая в каждой точке имеет касательную).
Пусть – простая кривая. Введём разбиение . Обозначим точки и положим . Если при всех разбиениях T ограничено сверху, то кривая называется спрямляемой, а число – длиной кривой .
Лемма: Если – измельчение T, то
Достаточно доказать для добавления одной точки . Тогда , т.к. сумма длин двух сторон треугольника не больше длины третьей стороны.
Лемма: .
.
Если такова, что и ограничены на , то спрямляема.
По условию на . Имеем для любого разбиения T (по теореме Лагранжа) , т.е. ограничено сверху и спрямляема (здесь ).
Если такова, что и интегрируемы на , то спрямляема и (в частности, это так, если – гладкая кривая).
Заметим, что для любого разбиения , где и , что очень похоже на – интегральную сумму для , который существует по следствию из теоремы об интегрируемости сложной функции. Оценим (по лемме) . Обозначим . Тогда . Возьмём . Тогда, т.к. и эти функции, и интегрируемы, то для всех разбиений T с будет при выполнено: и . Тогда для с будет . Для того же по определению существует такое разбиение , что . Измельчим так, чтобы получить с . Тогда и . Т.к. , то , откуда . Таким образом, для будет , откуда .
Замечания:
Если , , , интегрируемы на , то .
Если и интегрируема на , то (следует из общей формулы, если взять , .
Если (в полярных координатах) и при этом интегрируема на , то .
Имеем , . Тогда , и . Отсюда .
На спрямляемой прямой можно ввести натуральный параметр – длину дуги.
Дифференциал дуги. Если – гладкая кривая на и , то , откуда или , т.е.
Если – гладкая кривая и точка , то
Следует из того, что , и, значит, .
Если – гладкая кривая, то , где – угол наклона касательной, направленной вдоль кривой, с положительным направлением оси х.
Придадим приращение . Тогда и получат приращения и и , . Отсюда . Аналогично – .
Площади фигур
Многоугольной фигурой называется объединение нескольких многоугольников.
Для многоугольной фигуры определена площадь со свойствами:
.
Если , то .
Если и , то .
Если (конгруэнтна, т.е. можно совместить движением), то .
Площадь единичного квадрата равна 1.
Е сли , то .
Следует из того, что , , а .
Пусть дана ограниченная фигура и пусть – множество многоугольных фигур , – множество многоугольных фигур . При этом множество может быть пустым, в отличие от . Рассмотрим теперь и . Если , то положим . Т.к. для будет , где – некоторая описанная фигура, то ограничено сверху и, значит, существует конечный . Т.к. все , то . Если , то фигура называется квадрируемой и общее значение – площадь фигуры .
Замечание:
Пусть . Положим . Тогда по определению и , и , , , откуда . Значит, , что противоречит условию.
Для квадрируемости фигуры необходимо и достаточно, чтобы для существовал многоугольные и и .
Пусть квадрируема и – площадь . Тогда для по определению грани и и и , откуда .
Пусть для существуют соответствующие и . Тогда , откуда и – квадрируема.
Точка M называется граничной для фигуры , если в любом круге с центром в точке M имеются как точки множества , так и точки, не принадлежащие фигуре .
Точка M называется внутренний для фигуры , если существует такой круг с центром в точке M, что все его точки принадлежат фигуре .
Множество всех граничных точек называется границей.
Вторая формулировка критерия квадрируемости: Для квадрируемой фигуры необходимо и достаточно, чтобы для нашлась многоугольная фигура : граница и (т.е. ).
Говорят, что , если для существует многоугольная фигура и .
Третья формулировка критерия квадрируемости: Фигура квадрируема тогда и только тогда, когда .
Спрямляемая кривая (в частности, гладкая) имеет площадь, равную 0.
Пусть длина кривой L. Разобьём кривую точками на дугу с длиной и построим с центрами в точках квадраты со сторонами . Тогда вся кривая окажется внутри объединения квадратов: , причём при , т.е. для может быть сделано . Значит .
Любая фигура, ограниченная конечным числом спрямляемых кривых (в частности, гладких), квадрируема.
Свойства площади квадрируемой фигуры :
.
Если , то , т.к. из того, что следует, что .
.
Если и квадрируемы, то тоже квадрируема.
Следует из того, что граница , а и .
Если и квадрируемы и не имеют общих точек, то .
Возьмём . Тогда и . Образуем . Тогда , а . Имеем . При этом мы имеем право писать , т.к. , а . Тем самым по критерию квадрируема. Сложим предыдущие неравенства: . Имеем .
Если и квадрируемы, то тоже квадрируема (Следует из того, что , а т.к. и , то квадрируема).
Если на и интегрируема на и , то квадрируема и .
Возьмём . Т.к. интегрируема на , то по критерию интегрируемости существуют суммы Дарбу и . Но – площадь вписанной ступенчатой фигуры, т.е. существуют многоугольные фигуры F и G: и . По критерию квадрируемости квадрируема.
Заметим далее, что .
Площадь криволинейного сектора:
.
Объёмы тел
Введём разбиение . Тогда при . Таким образом, .
Объём тела вращения: .
Площадь поверхности вращения:
Несобственные интегралы
Пусть интегрируема на , и . Тогда называется несобственным . Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный сходится.
Примеры:
.
.
.
.
Аналогично, , , где a – произвольное число.
Пусть интегрируема на , где и в окрестности b неограниченна. Тогда – несобственный интеграл.
Примеры:
.
.
.
Будем говорить , что рассматривается несобственный интеграл с особенностью в точке b, если:
интегрируема на , где .
Либо , либо b – конечно, а – неограниченна в окрестности b.
В этом случае .
Критерий Коши: Для сходимости с особенностью в точке b необходимо и достаточно, чтобы для существовало и для было бы .
Введём . Тогда сходимость равносильна существованию конечного предела , а это, по критерию Коши для функции, равносильно условию: для и для , будет , т.е. , что равносильно нашему утверждению.
Говорят, что с особенностью в точке b сходится абсолютно, если сходится .
Если сходится абсолютно, то он и просто сходится.
Возьмём . Тогда и для будет . Тогда для тех же параметров будет . Отсюда по критерию Коши сходится.
Простейшие свойства
Если – несобственный интеграл с особенностью в точке b, , то – тоже несобственный интеграл с особенностью в точке b, причём оба интеграла либо сходятся, либо нет.
.
Если и несобственные с особенностями в точке b, то . Если при этом и и два из них сходятся, то сходится и третий.
.
Если несобственный с особенностью в точке b, для и непрерывна в точке b, то .
Действительно, .
Примеры:
.
.
Интегралы от неотрицательных функций
Если и , то не убывает на (Действительно, если , то ).
Пусть и интегрируема на , где . Тогда для сходимости необходима и достаточна ограниченность сверху функции на .
Сходимость равносильна существованию конечного , что, т.к. не убывает, равносильно ограниченности сверху на .
I признак сходимости: Если и – интегралы с особенностями в точке b и на будет , то
Если сходится , то сходится и .
Если расходится , то расходится и .
Пусть сходится . Это значит, что для . Но тогда сходится.
Пусть расходится. Т.к. не убывает, то это значит, что , и тогда , т.е. расходится.
Для выполнения первого признака необходимо, чтобы неравенство выполнялось лишь на каком-то .
II признак сходимости: Пусть и – интегралы с особенностями в точке b, на , и существует конечный . Тогда либо оба интеграла сходятся, либо оба расходятся (в частности, если эквивалентно при ).
Возьмём такое , что . Т.к. , то и в будет , т.е. будет в . Пусть сходится, тогда сходится, и по I признаку сходится. Пусть сходится, тогда сходится, откуда тоже сходится. Отсюда следует и утверждение о расходимости, т.к., например, если расходится, то не может сходиться, иначе сходился бы . Заметим в заключение, что то, что верно для , верно и для .
Пример: , но сходится, следовательно, сходится и тоже сходится, т.к. .
Обычно сравнивают с хорошо известными функциями: .