7. Интегрирование рациональных функций вида:

Рациональной дробью называется дробь вида где P(x) и Q(x)- многочлены.

Рациональная дробь называется правильной если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x) в противном случаи дробь называется неинтегральной :

Простейшими (элементами) дробями называются правильные дроби следующего вида:

8. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

Перед интегрированием рациональных дробей на простейшие следует преобразования: если дробь неправильная, то выделить из её целую часть:

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители:

Q(x)= (x-a)^m….(x²+px+q)ⁿ

2. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие:

Где A1..An, B1..Bn, C1..Cn Неопределённый коэффициенты.

Которые можно находить двумя способами: для чего необходимо привести равенство * к общему знаменателю, прировнять коэффициенты при одинаковых степенях х, в левой и правой части полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способам придовая полученному тождеству переменной х. произвольные числовые значения часто бывает полезно комбинировать оба способа в вычислении оба коэффициента. В результате интегрирования рациональные дроби, сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейшей дроби.

9.Интегрирование тригонометрической функции.

Интегралы вида R(sinx;cosx)dx R-рациональная функция с помощью подстановки tg =t рационализируется.

Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Это подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям. В некоторых частных случаях, нахождение интеграла данного вида может быть упрощено.

1. Если подынтегральная функция не четная относительно sin(x):

R(-sinx; cosx)=-R(sin; cos)

2. R(sinx;-cosx)=-R(sin;cos)-то интеграл рационализуется.

3. Если подынтегральная функция четная относительно sin и cos:

R(-sin; -cos)=R(sin;cos).

Интеграл вида sin^mx cosⁿxdx находятся в зависимости от чётности и нечётности m и n.

1 случай если m и n нечетное положительное число, если n нечетно, то подстановка sinx=t, если m нечетное, то подстановка cosx=t.

Если

2 случай если оба показателя степени m или n четные положительные числа:

Sin2x=2sinx cosx

1. sinxcosx=

2. sin²x=

3. cos²x=

3 случай интегралы вида:

Данные формы позволяют произведение тригонометрических функций представить в виде суммы, затем данный интеграл представить в виде суммы интеграла.

10. Интегрирование иррациональных функций вида.

R-рациональная функция

n1…n2- целые числа рационализуются с помощью подстановки [ax+b=t^s] где S –наименьшее общее кратное n1…n2.

Интеграл вида данный интеграл находится путём дополнения подкоренного выражения до полного квадрата:

Интеграл вида: приводится к табличным выделениям в числителе дифференциал подкоренного выражения.

Интеграл вида приводится к табличным с помощью замены.

11.Понятие определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённых интегралов с использованием таблицы интегралов, свойства интегралов. Формулы Ньютона-Лейбница.

Задача о криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура ограничена графиком непрерывной неотрицательной F(x) y=f(x) прямыми x=a, x=b, и осью O_x .

Разобьём отрезок AB на n равных частей , тогда криволинейная трапеция разобьётся на n полосок. Через точки деления отрезка ав проведём прямые параллельные оси O_y . Впишем в каждую из образовавшихся полосках прямоугольник с высотой равной минимальному значению функции на каждый из полосок.

-нижняя сумма Дарбу равная S криволинейной трапеции с недостатком.

Опишем около каждой плоскости прямоугольник с высотой равной максимальному значению функции на полоске. Тогда S криволинейная трапеция с избытком вычислим по формуле:

-верхняя сумма Дарбу.

На i-ой полоске возьмём среднее значение функции в точке .Тогда S прямоугольника с высотой F( ) находится между S полоской с недостатком и избытком:

Определённым интегралом от F(x) на отрезке ab называется предел интегральной суммой при условии, что длинна наибольшего из элементов отрезков стремится к нулю.

Для любой функции F(X) непрерывной на отрезке ab всегда существует неопределённый интеграл.

Для вычисления определённого интеграла для функции F(x) в том случаи, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл F(x), существует формула Ньютона- Лейбница:

Определённый интеграл равный разности значений первообразной в верхней и нижнем пределе интегрирования.

Алгоритм вычисления определённых интегралов:

1. Найти первообразную соответствующего неопределённого интеграла.

2. Найти значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования

Свойство определённых интегралов:

1. При перестановки пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

2. Постоянны множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

3. Определённый интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме определённого интеграла от этих функций:

4. Определённый интеграл можно разбивать на суммы интегралов: